2. Равенство множеств

Исследуя множества, мы не исключаем и множества, образованные из одного-единственного элемента; например, множество всех простых четных чисел содержит только один элемент, которым является число 2.

2. Равенство множеств

Два множества А и В мы считаем равными и пишем если они состоят из одних и тех же элементов, другими словами, если каждый элемент множества А является элементом множества В и наоборот. Если множества А и В не равны, мы пишем Это означает, что по крайней мере в одном из множеств А или В имеется элемент, которого нет в другом множестве (т. е. или в множестве А есть такой элемент, которого нет в множестве В, или в множестве В есть такой элемент, которого нет в множестве А, или же имеет место и то и другое).

Казалось бы, решение вопроса о том, равны два множества или нет, не должно представлять особых трудностей. Однако это не так. Приведу здесь простой пример двух множеств А и В, очень просто определяемых, о которых по сегодняшний день мы не можем решить, равны они или нет.

Пусть А — множество всех четных чисел, больших множество всех чисел, являющихся суммами двух простых нечетных чисел. Мы до сих пор не знаем, какое из соотношений справедливо: или и не знаем даже, как подойти к решению этого вопроса. В то же время можно легко показать, что каждый элемент множества В является элементом множества А, что мы выражаем, записывая и говоря, что множество В содержится в множестве А, или что множество В является частью (или подмножеством) множества А. Действительно, поскольку наименьшим нечетным простым числом является 3, сумма двух нечетных простых чисел всегда будет четным числом, не меньшим 6 (в записи: ) следовательно, большим

4 (в записи: откуда и следует, что В 1742 г. Хр. Гольдбах х высказал предположение, что следовательно, что и (потому что, как легко видеть, для любых двух множеств Р и если одновременно то Однако предположение Гольдбаха до сих пор не доказано и не опровергнуто.

Несколько иное положение было бы, если бы было множеством всех нечетных чисел — множеством всех чисел, являющихся суммами трех нечетных простых чисел. Здесь мы тоже до сих пор не умеем решить, имеет ли место соотношение или нет, но благодаря результатам, полученным И. М. Виноградовыми его учениками, мы знаем метод, дающий возможность путем выполнения определенных, указанных этим методом вычислений решить, какое из соотношений или верно. К сожалению, хотя эти вычисления совершенно элементарны, число их так еелико, что ни одна существующая электронная вычислительная машина не была бы в состоянии их выполнить.

Пусть теперь означает множество, состоящее из двух чисел: 1093 и 3511, а пусть будет множеством всех целых чисел для которых число делится на Можно доказать, хотя это и не очень легко, что но неизвестно, имеет ли место или нет. Пример этот интересен тем, что здесь множество состоит всего из двух элементов.

3. Собственные подмножества

Если для множеств имеет место но то мы говорим, что Р является собственным подмножеством множества (или, иначе, правильной частью Как следует из приведенных выше примеров, иногда трудно решить, является ли данная часть множества (данное подмножество) его собственным подмножеством или же нет. Ясно, что часть части данного множества всегда является его частью. Другими словами, для любых множеств А, В и С из следует Мы выражаем это, говоря, что отношение, обозначаемое символом (включение), является транзитивным, подобно соотношениям величины между числами, обозначаемым в арифметике символами или

Очевидно также, что часть собственного подмножества данного множества всегда является собственным подмножеством этого множества.