§ 3. Квадратные матрицы

Квадратную матрицу -го порядка, у которой на главной диагонали стоят единицы, а все остальные элементы равны нулю, будем называть единичной матрицей и обозначать через  или просто . Название «единичная матрица» связано со следующим свойством матрицы : для любой прямоугольной матрицы

имеют место равенства

.

Очевидно,

Пусть— квадратная матрица. Тогда степень матрицы определяется обычным образом:

      .

Из сочетательного свойства умножения матриц следует:

.

Здесь ,  — произвольные целые неотрицательные числа.

Рассмотрим многочлен (целую рациональную функцию) с коэффициентами из поля :

.

Тогда под  будем понимать матрицу

Так определяется многочлен от матрицы.

Пусть многочлен  равен произведению многочленов  и :

.

Многочлен  получается из  и  путем почленного перемножения и приведения подобных членов. При этом используется правило перемножения степеней: . Так как все эти действия правомерны и при замене скалярной величины  на матрицу , то

Отсюда, в частности,

,

т. е. два многочлена от одной и той же матрицы всегда перестановочны между собой.

Примеры.

Условимся -й наддиагональю (поддиагональю) в прямоугольной матрице  называть ряд элементов, у которых  (соответственно). Обозначим через  квадратную матрицу -го порядка, у которой элементы первой наддиагонали равны единице, а все остальные элементы равны нулю. Тогда

,      и т. д.;

В силу этих равенств если:

— многочлен относительно , то

.

Аналогично, если  — квадратная матрица -го порядка, у которой все элементы первой поддиагонали равны единице, а все остальные, нулю, то

.

Предлагаем читателю проверить следующие свойства матриц  и:

 1° В результате умножения произвольной -матрицы  слева на матрицу   (матрицу ) -го порядка все строки матрицы  подминаются (опускаются) на одно место вверх (вниз), первая (последняя) строка матрицы  исчезает, а последняя (первая) строка произведения заполняется нулями. Так, например,

,

.

2°  В результате умножения произвольной -матрицы  справа на матрицу    -го порядка все столбцы матрицы  сдвигаются вправо (влево) на одно место, при этом последний (первый) столбец матрицы  исчезает, а первый (последний) столбец произведения заполняется нулями. Так, например,

.

.

2. Квадратную матрицу будем называть особенной, если . В противном случае квадратная матрица  называется неособенной.

Пусть  — неособенная матрица (). Рассмотрим линейное преобразование с матрицей коэффициентов

   .                                               (23)

Рассматривая равенства (23) как уравнения относительно  и замечая, что определитель системы уравнений (23) по условию отличен от нуля, мы можем однозначно по известным формулам выразить  через :

   .   (24)

Мы получили «обратное» преобразование для (23). Матрицу коэффициентов этого преобразования

мы назовем обратной матрицей для матрицы . Из (24) легко усмотреть, что

  ,                       (25)

где              - алгебраическое дополнение (адъюнкта) элемента  в определителе  .

Так, например, если

 и ,

то

.

Образуя составное преобразование из данного преобразования (23) и обратного (24) в одном и в другом порядке, мы в обоих случаях получаем тождественное преобразование (с единичной матрицей коэффициентов); поэтому

.                                 (26)

В справедливости равенств (26) можно убедиться и непосредственным перемножением матриц  и . Действительно, в силу (25)

   .

Аналогично

  .

Нетрудно видеть, что матричные уравнения

 и  ()                      (27)

никаких других решений, кроме решения  не имеют. Действительно, умножая обе части первого уравнения слева, а второго — справа на  и используя сочетательное свойство произведения матриц, а также равенства (26), мы в обоих случаях получим:

.

Этим же способом доказывается, что каждое из матричных уравнений

        (),                    (28)

где  и  — прямоугольные матрицы равных размеров,  — квадратная матрица соответствующего размера, имеет одно и только одно решение:

 и соответственно                  (29)

Матрицы (29) являются как бы «левым» и «правым» частными от «деления» матрицы  на матрицу . Из (28) и (29) следует соответственно (см. стр. 22)   и , т. е. . Сопоставляя с (28), имеем:

При умножении прямоугольной матрицы слева или справа на неособенную матрицу ранг исходной матрицы не изменяется.

Заметим еще, что из (26) вытекает , т.е.

.

Для произведения двух неособенных матриц имеем:

.                             (30)

3. Все матрицы -го порядка образуют кольцо с единичным элементом . Поскольку в этом кольце определена операция умножения на число из поля  и существует базис из  линейно независимых матриц, через которые линейно выражаются все матрицы -го порядка, то кольцо матриц -го порядка является алгеброй.

Все квадратные матрицы -го порядка образуют коммутативную группу относительно операции сложения. Все неособенные матрицы -го порядка образуют (некоммутативную) группу относительно операции умножения.

Квадратная матрица  называется верхней треугольной (нижней треугольной), если равны нулю все элементы матрицы, расположенные под главной диагональю (над главной диагональю):

,      .

(1)                                           (2)

Диагональная матрица является частным случаем как верхней, так и нижней треугольной матрицы.

Так как определитель треугольной матрицы равен произведению ее диагональных элементов, то треугольная (и, в частности, диагональная) матрица является неособенной только тогда, когда все ее диагональные элементы отличны от нуля.

Легко проверить, что сумма и произведение двух диагональных (верхних треугольных, нижних треугольных) матриц есть диагональная (соответственно верхняя треугольная, нижняя треугольная) матрица и что обратная матрица для неособенной диагональной (верхней треугольной, нижней треугольной) матрицы является матрицей того же типа. Поэтому

1° Все диагональные, все верхние треугольные, все нижние треугольные матрицы -го порядка образуют три коммутативные группы относительно операции сложения.

2° Все неособенные диагональные матрицы образуют коммутативную группу относительно умножения.

3° Все неособенные верхние (нижние) треугольные матрицы составляют группу (некоммутативную) относительно умножения

4. В заключение этого параграфа укажем на две важные операции над матрицами — транспонирование матрицы и переход к сопряженной матрице.

Если  , то транспонированная матрица  определяется равенством , где  (). Сопряженная же матрица , где  . Если матрица  имеет размеры , то матрицы  и  имеют размеры .

Легко проверяются свойства:

1 ,  .

2 ,         ;

3 ,        .

4 ,      .

5 ,               .

Если квадратная матрица  совпадает со своей транспонированной () то такая матрица называется симметрической. Если же квадратная матрица  совпадает со своей сопряженной (), то она называется эрмитовой. В симметрической матрице элементы, симметрично расположенные относительно главной диагонали, равны, а в эрмитовой они комплексно сопряжены между собой. Диагональные элементы эрмитовой матрицы всегда вещественны. Заметим, что произведение двух симметрических (эрмитовых) матриц, вообще говоря, не является симметрической (эрмитовой) матрицей. В силу 3° это имеет место только в том случае, когда данные две симметрические или эрмитовы матрицы перестановочны между собой.

Если  — вещественная матрица, т. е. матрица с вещественными элементами, то . Эрмитова вещественная матрица всегда является симметрической.

С каждой прямоугольной матрицей  размеров  связаны две эрмитовы матрицы  и  размеров  и . Любое из равенств  или  влечет за собой  равенство .

Если квадратная матрица  отличается множителем -1 от своей транспонированной () то такая матрица называется кососимметрической. В кососимметрической матрице любые два элемента, расположенные симметрично относительно главной диагонали, отличаются друг от друга множителем -1, а диагональные элементы равны нулю. Из 3° следует, что произведение двух перестановочных между собой кососимметрических матриц является симметрической матрицей.