2.5. Ограниченные значения арности, большие двух

В примерах двух последних разделов мы имели дело с конфигурациями, арность которых была равна 0, 1 или 2. Рассмотрим случаи, когда арность принимает большие, хотя и ограниченные значения.

Рис. 2.5.1

Случаи 2.5.1 (последовательности арифметических операторов более высокого порядка). Пусть образующие представлены арифметическими операторами с двумя входами и двумя выходами, причем и те и другие — действительные, и пусть тип соединения соответствует изображенному на рис. 2.5.1. Образующая имеет входную арность 2 (две связи и и выходную арность 2 (две связи ). Входные связи представляют области определения, а выходные — области значений, как в случае 1.3.18. Если состав то при некоторая обеспечивает соединение , а при соединение т. е. для любой конфигурации имеет место следующее:

Отношение согласования р - «включение»: область значений одной образующей входит в область значений следующей.

Что же представляют собой классы конгруэнтности в данном случае? Рассмотрим две конфигурации принадлежащие (52), и объединим их с помощью а, которая обязательно должна иметь данную -структуру. Для типа соединения, заданного в данном случае, это означает, что о соединяет обе конфигурации и или с правой, или левой частью с; пусть, например, с правой.

Пусть выходные связи с имеют показатели соответственно. Условимся, что связи соединены с первой образующей с, а связь со второй, если она есть. Аналогичным образом соответствующие входные связи с обозначены Мы должны потребовать, чтобы для любой с (мощностью ) выполнялось булево отношение

или, если мощность отношение

Это зависит от того, каковы возможные комбинации показателей внешних связей для регулярных конфигураций. Интерес представляет следующий случай.

Имея в виду, что здесь показатели связей — суть области определения и области значений, будем считать их некоторыми подмножествами заданного пространства В, полагая также, что осуществление всех комбинаций возможно в виде внешних связей регулярных конфигураций.

Теперь мы можем утверждать, что в данном случае конгруэнтность означает необходимость совпадения всех показателей внешннх связей у соответствующих связей. Для доказательства этого утверждения допустим, что они действительно совпадают: при всех В таком случае очевидно, что соотношения (2.5.2) и (2.5.3) тождественно истинны. Если, с другой стороны, для каких-либо связей скажем то можно принять для всех Если мы поступим именно таким образом, то левая конъюнкция в соотношении (2.5.2) истинна, но, поскольку отношение ложно, и конфигурации не могут быть конгруэнтными, что завершает доказательство.

Если подмножество В может появляться лишь в некоторых комбинациях регулярных конфигураций, то для обеспечения конгруэнтности точное совпадение может и не понадобиться.

Следующим примером является

Случай 2.5.2 (образы роста в пространстве-времени). Пусть образующими являются точки плоскости (с числовыми признаками типа плотности и идентификаторами) и задано в виде группы топологических отображений на себя. В данном случае удобно считать некоторые соединения реверсивными. Для , где тип соединения показан на рис. 2.5.2. У всех образующих арность равна 4 и имеются связи двух типов — обозначенные сплошными линиями, и обозначенные пунктиром. Показатели связей на рисунке не обозначены, поскольку должно быть очевидно, что в данном случае На рис. 2.5.2,б показана одна образующая со своими связями. В данном случае отношение согласования — равенство.

Рис. 2.5.2.

Образующая соединена реверсивными связями с образующими причем сложение в первом индексе осуществляется по модулю М. С образующими образующая соединена нереверсивными связями, как показано на рисунке стрелками. Итак, арность с равна половина этой величины приходится на входные связи, половина — на выходные.

Интерпретация типа соединения 2 состоит в том, что рост (или распад, или сочетание того и другого) происходит во времени (прогрессирует по мере его увеличения). Это означает, что образующие с заданными значениями признака определяют очертания организма в данный момент времени. Точки с

одинаковыми признаками являются гомологичными и представляют линии роста.

С другой стороны, можно было бы использовать макрообразующие, соответствующие постоянным значениям в качестве образующих (кривые роста). Затем их можно было бы объединить с помощью некоторого другого типа соединения, связывающего гомологичные точки, с тем чтобы получить образы роста. В разд. 3.8 мы вернемся к этой теме.