4.6. Косвенные наблюдения

Теперь мы займемся теми случаями, когда при наблюдении изображения используется какой-либо прибор. Обычно это приводит к не совсем адекватному определению изображения, и возникающие в результате деформации могут оказаться весьма серьезными, если прибор выбран таким образом, что он не соответствует структуре алгебры изображений.

Класс деформаций, возникающих при косвенных наблюдениях, в определенной степени пересекается с деформациями, рассматривавшимися в предыдущем разделе. Если, например, прибор включает маску, наложенную на и обеспечивающую получение в пределах окна точной информации, то мы снова возвращаемся к определению 4.5.1. Обычно, однако, прибор обладает каким-либо характерным качеством, оправдывающим независимое рассмотрение этих деформаций.

Мы рассмотрим лишь две разновидности приборов, хотя множество других нашли практическое применение. В первом типе используется устройство, сделанное из какого-либо жесткого материала, во втором случае изображение подвергается воздействию волн разного рода.

Случай 4.6.1 (образцы веществ). Пусть состоит из множества изображений, принадлежащих опорному пространству Некоторое фиксированное подмножество называемое образцом, подвергается с помощью преобразований подобия всем тем возможным преобразованиям, при которых не пересекается с Формально деформированное изображение задается как

Следовательно, деформированное изображение имеет совершенно иную природу, чем идеальное, так как I — подмножество X, а деформированное изображение — подмножество Разумеется, некоторому заданному можно сопоставить идеальные изображения, совместимые с (см. разд. 4.5). В частном случае, когда известно, что идеальное изображение подобно определенному прототипу чему соответствует множество дрейфа Г, для произвольного получаем

так что деформации, сопутствующие взятию образца, ковариантны. Кроме того, если множества дрейфа соответственно, то из свойства ковариантности следует, что

В случае, когда в реальных измерительных устройствах, образцы могут принимать форму полуплоскости, один из их концов может быть шарообразным, либо они могут обладать какими-либо специфическими свойствами, скажем фиксированной локализацией края или угла. Рассмотрим важный случай, когда образец имеет форму длинного тонкого прута либо, в идеализированном виде, луча, исходящего из начала координат в направлении оси Пусть изображения представляют собой односвязные области, ограниченные кусочно-гладкой границей Будем говорить, что I поддается исследованию с помощью линейных образцов, если для любой точки

границы существует луч, который находится целиком вне а основание которого расположено сколь угодно близко к данной точке (см. рис. 4.6.1).

Теорема 4.6.1. Пусть 1 имеет вид, описанный выше. В таком случае оно поддается исследованию с помощью линейных образцов в том и только том случае, если оно замкнуто относительно двух признаков в логике признаков, построенной на образующих-полуплоскостях (см. разд. 3.5).

Рис. 4.6.1

Доказательство. Пусть I замкнуто относительно двух признаков, т. е.

где — полуплоскости, и пересечение определено на некотором множестве индексов класса образующих А. Пусть произвольная точка . В таком случае можно найти другую точку сколь угодно близкую к и принадлежащую дополнению некоторого двух-признакового . Поскольку, однако, всякая точка этого дополнения достижима с помощью линейного образца, то это означает, что образцы могут включать точки, сколь угодно близкие к и, следовательно, поддается исследованию с помощью линейных образцов.

Пусть, с другой стороны, поддается исследованию с помощью линейных образцов. Окружим внешнюю сторону границы множеством точек таким, что для любой точки найдутся точки Р, сколь угодно близкие к ней. Всякой точке Р можно поставить в соответствие луч, начинающийся в этой точке, направленный вовне и расположенный целиком в . Расширим луч с этой же концевой точкой на наибольший открытый угол, содержащийся в . Последнее означает, что можно записать как пересечение дополнений этих углов. Подобное дополнение можно представить либо как если угол меньше либо как , в противном случае. Итак, 1 представлено в виде (4.6.4), что доказывает теорему.

Деформации, связанные с тем, что наблюдатель вынужден ограничиться определенным образцом, означают фиксацию точных значений для которых Практически измеряется лишь конечное множество значений причем каждое измерение сопровождается некоторой ошибкой. При анализе образов, изучаемых с помощью измерительных устройств, будет учтена и эта разновидность деформаций (см. гл. 12).

Дальше в этом разделе мы будем рассматривать некоторые виды деформаций, которые могут возникать при использовании наблюдателем для исследования изображений какого-либо излучения, удовлетворяющего волновому уравнению:

где с — скорость распространения волн, а — амплитуда волны. Физическая интерпретация и зависит от собственно природы волн, однако в данном случае мы будем иметь дело с наиболее важным случаем — световым излучением, рассматривая световое поле как скалярное. Более подробные сведения по этому поводу читатель может найти в монографиях Гудмена (1970) и О'Нейла (1966).

Линейность уравнения (4.6.5) допускает суперпозицию волн — факт, имеющий первостепенное значение при изучении оптических процессов. Пусть точечный источник монохроматического света с длиной волны X помещен в начало координат и обозначает расстояние от начала координат до точки . В однородной среде при постоянной с он порождает сферическую волну

где волновое число — угловая частота Этот вид монохроматических волн можно использовать для построения более сложных типов волновых фронтов.

Соотношение между зависит от свойств среды, расположенной между объектом I и деформированным изображением Важна также и величина длины волны X, так как большие значения X не позволят наблюдателю рассмотреть детали идеального изображения, существенно меньшие

Опорным пространством в данном случае будет служить плоскость при будет расположено в плоскости на расстоянии (см. рис. 4.6.2, на котором отмечен путь света Р, начинающийся в точке плоскости объекта и заканчивающийся в точке Обозначим через сдвиг по фазе, соответствующий Р. Если рассматриваются лишь такие Р, которые проходят вблизи оптической

оси (параксиальное приближение), а именно оси то нет необходимости учитывать изменения знаменателя (4.6.6), и остается лишь сдвиг по фазе. Используя суперпозицию, получаем для комплексной амплитуды в плоскости

где С — произвольная постоянная.

Это приводит к следующему случаю:

Случай 4.6.2 (монохроматическое излучение). Плоское изображение-соответствие, представленное в плоскости амплитудой поля порождает деформированное изображение, представленное амплитудой поля (4.6.7).

Рис. 4.6.2.

Более точное определение функции Ф зависит от геометрических и оптических свойств установки, используемой наблюл дателем. Напомним несколько классических случаев.

Пусть имеется отверстие в непрозрачном бесконечном экране, и промежуточная среда однородна. В этом случае сдвиг по фазе пропорционален расстоянию от до ; равному

если велико по сравнению с расстояниями по осям Коэффициент пропорциональности равен [см. (4.6.6.)]. В таком случае ядро (4.6.7) пропорционально

последнее выражение известно как приближение Френеля. Это означает, что 3) приближенно задается сверткой:

интегрирование производится по отверстию в плоскости

Данная свертка соответствует умножению (в области пространственных частот) на функцию, пропорциональную

Раскрывая в (4.6.9) квадраты, получаем, что I пропорционально

Воспользовавшись еще более сильным допущением о том, что велико по сравнению с в отверстии, получаем приближение Фраунгофера:

где Это означает, что данная оптическая система осуществляет двумерное преобразование Фурье на пространственных частотах

Замечательным примером является картина дифракции Фраунгофера, возникающая при равномерном освещении круглого отверстия диаметра монохроматическим когерентным светом. В этом случае результирующее поле в плоскости определяется уравнением (4.6.13), и для его решения необходимо вычислить двойной интеграл

где изменяется в пределах от 0 до равномерно изменяется на интервале Воспользовавшись определением функции Бесселя первого рода, находим, что пропорционально

Рассмотрим теперь тонкую линзу, толщина которой в точке ее плоскости равна причем пусть показатель преломления линзы. Линза вызывает при этом сдвиг по фазе а область между линзой и двумя касательными плоскостями — еще один сдвиг по фазе рис. 4.6.3). Следовательно, общий сдвиг по фазе равен

Рис. 4.6.3.

Изображенная на рисунке линза ограничена двумя сферическими поверхностями; знак радиуса положителен, если луч, направленный слева направо, встречается с выпуклой поверхностью, и отрицателен в противном случае. Функция общей толщины линзы разбивается в этом случае на две части, скажем с соответственными максимумами Итак, где

так что, сложив и снова прибегнув к параксиальной аппроксимации, получаем следующее:

Последнее с учетом (4.6.7) и (4.6.16) приводит к получению ядра, пропорционального

или, если воспользоваться фокусным расстоянием

ядро оказывается пропорционально

Эту величину мы используем для изучения ситуации, когда объект с полем помещен перед линзой на расстоянии

и поле наблюдается в фокальной плоскости на расстоянии позади линзы.

Обозначим двумерное преобразование Фурье через ; приближение Френеля (4.6.11) указывает, что преобразование Фурье поля в передней фокальной плоскости линзы равно

Функция линзы заключается в умножении поля в передней фокальной плоскости на (4.6.21). Следовательно (см. (4.6.12)),

интегрирование проводится по апертуре линзы. Если не учитывать ее конечность, то получаем следующее:

Последнее с учетом (4.6.21) приводит к

В случае, когда предмет помещается в переднюю фокальную плоскость, это выражение сводится к следующему важному соотношению:

Другими словами, нами доказана следующая теорема:

Теорема 4.6.2. Предмет, помещенный в переднюю плоскость тонкой линзы и освещаемый монохроматическим светом, отображается (приближенно, как описано выше) в пространственное преобразование Фурье в соответствии с соотношением (4.6.26).

Оптические системы, построенные из тонких линз и других прозрачных тел с линейным пропусканием излучения, можно, следовательно, анализировать в терминах последовательных преобразований Фурье и умножений на скаляр в пространственной либо частотной областях. Это обстоятельство будет использовано

ниже в гл. 13 при исследовании фильтрации оптических изображений.

При идеализированных в определенной степени условиях мы рассмотрели, каким образом идеальное изображение-соответствие, представленное полем, деформируется механизмом, описанным в разд. 4.6.2. Это линейный оператор на комплексном поле. В большинстве случаев за такой деформацией следует другая, связанная с тем обстоятельством, что большинство регистрирующих устройств обладает чувствительностью лишь к средней мощности поля, но не к фазе. Эта мощность пропорциональна интенсивности, поэтому наблюдаемы лишь абсолютные значения.

Случай 4.6.3 (свободная фаза). Если комплексная амплитуда поля, то абсолютная величина комплексного поля.

Поведение интенсивности поля зависит в данном случае от фазовых различий. Если фазы изменяются совместно таким образом, что связанные фазы остаются фиксированными, то излучение называется пространственно когерентным. Точечные источники света обычно когерентны, и, естественно, в этой связи следует упомянуть лазер. Если же, с другой стороны, в пространственно различных точках фазы изменяются статистически независимым образом, то говорят об абсолютно пространственно некогерентном излучении.

Пусть используется пространственно когерентное излучение, образующее комплексное поле Пропустив его, как описывалось выше, через оптическую систему, получаем другое поле линейно связанное с исходным:

К — некоторое ядро. Тогда соответствующая интенсивность определяется как

Если же освещение полностью некогерентно, то его интенсивность имеет вид

так что в данном случае линейное преобразование претерпевает квадратичная интенсивность.

После определения результирующей интенсивности появляется возможность обсудить эффект фотоэмульсионного детектора, например, фотографической пленки. Она состоит из прозрачной основы, сделанной из стекла или ацетата, и слоя фотографической эмульсии (см. рис. 4.6.4). Эмульсия содержит множество светочувствительных частиц, взвешенных в желатине. Некоторые частицы под воздействием света восстанавливаются в серебро. Именно плотность этих восстановленных частиц определяет оптический коэффициент пропускания Т, который представляет собой отношение входной и выходной интенсивностей света. Плотность почернения определяется как .

Рис. 4.6.4.

Зернистая структура эмульсии и случайные флуктуации, возникающие при восстановлении серебра, вносят фотодеформации. Описываемая ниже модель дает некоторое представление об их действии (см. монографию Ю (1973), гл. 8).

Пусть эмульсия однородна в том смысле, что размер зерен остается постоянным, и сами зерна распределены в эмульсии регулярно. Рассмотрим небольшой элемент объема, содержащий зерен, и подвергнем его световому воздействию в течение времени Рассмотрим процесс проявления с интенсивностью в единицу времени в одном зерне. Обозначив

и отсчитывая время от момента когда все зерен не проявлены, получаем

Очевидно, что это тот же процесс, который рассматривался в случае 4.2.11, и можно, следовательно, сразу выписать решение:

которое характеризуется средним значением дисперсией

Предположив, что плотность почернения получаем

Предполагается, что справедливо приближенное равенство

где а — некоторая постоянная, соответствующая моменту, когда рассматриваемая скорость достигает максимума. В таком случае должно выполняться следующее:

откуда следует, что

Последние соотношения можно использовать для приближенного вычисления среднего, дисперсии и отношения сигнал/шум, связанного с фотопомехами.

Проведенное обсуждение можно формализовать.

Случай 4.6.4 (фотодеформации). Рассмотрим при образ-соответствие, характеризующийся интенсивностью На X задано регулярное размещение точек Для каждой точки допускается в течение времени процесс гибели с плотностью в единицу времени, причем все точки рассматриваются независимо друг от друга. Полученное в результате множество проявленных точек определяет крупнозернистую случайную плотность и, следовательно,

Это означает, что реализована операция усреднения по множеству результат которой использован в качестве крупнозернистой плотности. Пространственная протяженность процедуры усреднения должна по порядку величины превосходить горизонтальные расстояния между точками

До сих пор идеальное изображение рассматривалось нами в виде представления на плоскости в терминах комплексного светового поля или его освещенности. Это означает, что глубиной, свойственной ему как трехмерному объекту, мы пренебрегали. Если последняя значительна и наблюдатель лишен глубинного зрения, то следует учитывать отображения

Рассмотрим ситуацию, приведенную на рис. 4.6.5, центральная точка С расположена на расстоянии I за плоскостью при Точка изображения преобразовывается в наблюдаемую точку Р, в которой луч пересекает плоскость

В таком случае очевидно, что

на основании чего х, у можно выразить через . С другой стороны, при заданных х, у можно определить с помощью уравнений

множество возможных точек изображения, лежащих на данном луче, играет роль параметра, причем

Случай 4.6.5 (деформации перспективы). Пусть образована множеством изображений, принадлежащих опорному пространству и деформированное изображение определяется как

Рис. 4.6.5.

Отметим, что это отображение отличается от отображений, включающих (ортогональные) проекции или плоские сечения. Однако если велико, то данное отображение можно аппроксимировать ортогональными проекционными деформациями, поскольку отношение .

Если лишь отдельные отмеченные точки доступны наблюдению согласно механизму (4.6.40), то результат воздействия деформаций зависит от того, представляет ли собой изображение непрозрачный или прозрачный предмет. В первом случае

трудности могут возникнуть из-за того, что часть отмеченных точек заслонена той частью которая расположена между наблюдателем и этимн точками.

Мы завершаем этот раздел следующим замечанием: если изображения являются дискретными структурами и не представимы непрерывными функциями излучения, то использованные выше интегралы Фурье следует заменить аналогичными суммами Фурье. В наибольшей степени подобная ситуация изучена в кристаллографии в связи с использованием дифракции рентгеновских лучей.

При этом возникают деформации вида

где как и раньше, амплитуда деформированного изображения индексы решетки (см. разд. 3.5 и 3.6) и коэффициенты рассеяния. В гл. 10 (см. приложение) мы вернемся к некоторым задачам анализа, возникающим в связи с механизмом (4.6.41).