4.3. Изменения в соответствиях

Перейдем к рассмотрению некоторых гетероморфных деформаций, поддающихся воспроизведению с помощью образов-соответствий, причем именно таких, где изменениям подвергаются соответствия. Как отмечалось в гл. 3, при этом обсуждении удобно обратиться к образам-точкам, линиям, множествам, и мы коснемся даже такого случая, когда образующими являются меры.

Рассмотрим плоское кристаллическое изображение (см. (3 5.2)) и подвергнем его пульсирующим деформациям типа (4.2.2). Образующие состоят в данном случае из точек плоскости, а 52 предписывает их расположение, обеспечивающее формирование регулярной решетки. Очевидно, что в общем случае 3.5 разрушает 52, так что механизм является гетероморфным. Этот предмет уже обсуждался выше — см. случай 4.2.3.

Введем два механизма деформации для линейных образов.

Случай 4.31 (изменения кривизны). Рассмотрим изображение типа (3.5.16), заданное уравнением кривой:

Деформированное изображение определяется посредством

или

где радиус кривизны обозначен как При полном задании вероятностных следует определить случайный процесс .

Отметим, что случай 4.3.1 получается в результате наложения аддитивного шума на кривизну или на радиус кривизны Последний способ может использоваться, когда выпуклое, т. е. каждому углу соответствует единственная точка (если исключаются углы ).

Если требуется, чтобы изображения в обладали определенными глобальными свойствами, можно воспользоваться рассуждением, примененным в разд. 2.10. Для того чтобы проиллюстрировать эту возможность, допустим, что предусматривает замкнутость кривых и не должны нарушать это свойство.

-смещение по I определяется как

так что должны удовлетворять ограничению

и аналогичным образом

эти два условия налагают ограничения на -процесс.

Для того чтобы определить, при каких условиях ковариантны по вероятности, вспомним, что при той группе преобразований подобия, которой обладает данная алгебра изображений, естественно предполагать инвариантным по вращению. Обозначив через угол поворота получаем для идеального изображения следующее:

причем требование лишь инвариантности по вращению означает, что 0 ковариантно по вероятности, т. е. обладает тем свойством, которое мы стремились обеспечить при построении общего определения механизмов деформации (см. разд. 4.1).

В таком случае можно записать следующее:

сходится в среднем, если все коэффициенты взаимно независимы и удовлетворяют следующим условиям:

Теперь следует принять во внимание ограничения (4.3.7) и (4.3.8), и читатель должен вспомнить общее обсуждение, проведенное в разд. 2.10. В этом случае распределения вероятностей должны быть заданы полностью — задание свойств второго порядка не является достаточным. Это условие удовлетворяется требованием нормальности распределения, откуда следует независимость коэффициентов Фурье так что ограничения типа (4.3.7) и (4.3.8), налагаемые на не влияют на остальные. Это означает, что Иных изменений не требуется, и, следовательно,

Чтобы получить некоторое представление о том, как в сочетании с 31 деформируют замкнутую кривую, мы промоделировали случай, когда окружность; результаты представлены на рис. 4.3.1, причем наименьшему усилию деформации соответствует рис 4.3 1, а, а наибольшему - 4.3 1, в. Рис. 4.3.1, а, б показывают, что в этих случаях форма кривой остается близкой к форме в то время как рис. 4.3.1, в отражает более серьезные изменения. Причина заключается в том, что значение определяемое (4.3.10), вполне может оказаться отрицательным при значительных . Деформируемые дуги смещаются при этом назад, что приводит к появлению точек заострения.

Перейдем к алгебре изображений-множеств и введем три вида деформаций В первых двух образующими служат точки дискретной плоскости так что изображение можно представить его индикаторной функцией и соответствия принимают значения только 0 и 1.

Случай 4.3.2 (изменения в отдельных точках). Для всел; деформированное изображение определяется вероятностью ошибки первого рода

при удалении точки из и вероятностью ошибки второго рода

Все эти ошибки должны обладать стохастической независимостью.

Рис. 4.3.1.

Отметим, что в данном случае каждая точка опорного пространства рассматривается отдельно и независимо от того, что происходит с остальными точками. Это может привести к весьма неравномерному несмотря на то что может быть достаточно регулярным. Отметим также, что ошибки могут зависеть от изображения; так, например, они могут обладать чувствительностью к границе; т. е. принимают наибольшие значения, когда близка к где граница определяется так же, как в разд. 3.5.

Случай независимости от отличается особенной простотой, и мы говорим соответственно , не зависящем от изображения. Если не зависит от изображения, это, естественно, не означает, что I не влияет на от не зависит лишь

Менее хаотическим деформациям соответствует следующий случай:

Случай 4.3.3 (кластеризация точечных изменений). На X задается функция порождающая кластер с, такой, что

причем точки стохастически независимы. Для заданного кластера вероятности ошибок определяются как

характер ошибок в различных точках кластера стохастически независим от их положения. Обычно принимают наибольшие значения вблизи от с и уменьшаются по мере удаления от кластера.

На рис. 4.3.2 проиллюстрировано действие этих моделей. На рис. 4.3.2, а приведено идеальное изображение, а на рис. 4.3.2,б - соответствующее для случая 4.3.2. Видно, что ошибки распределены по всей области нерегулярно.

Рис. 4.3.2.

На рис. 4.3 2, в представлен случай 4.3.3; здесь ошибки размещены более регулярно и компактно.

Случай 4.3.4 (возмущенные неравенства). Рассмотрим алгебру изображений-множеств типа

на дискретной плоскости; величина порога, функция уровня. Деформированное изображение определяется как

где стохастически независимы.

Как читатель может заметить, это частный случай выражения (4.3.2), и мы упоминаем его специально только потому, что формулировки (4.3.15) и (4.3.16) — удобное средство для выражения зависимости деформаций от границы

Мы будем наблюдать сильные флуктуации в плотности точек когда действует механизм кластеризации (случай 4.3.3)

или когда наблюдается зависимость от изображения (случаи 4.3.2 и 4.3.4); причины, однако, в этих двух ситуациях совершенно различны. В первом случае это происходит из-за стохастической зависимости, во втором — из-за зависимости от идеального изображения.

Перейдем к образам-соответствиям в строгом смысле.

При рассмотрении в случае 4.2.10 обобщенного аддитивного шума мы предполагали, что алгебра идеальных изображений представляет собой полугруппу, а деформации — это просто элементы этой полугруппы, воздействующие на идеальное изображение. Гетероморфный аддитивный шум предполагает всего лишь, что полугруппа, причем вполне может находиться за пределами

Два случая заслуживают специального рассмотрения; оба они уходят корнями в технику связи.

Случай 4.3.5 (обнаружение сигнала, сигнал — фиксированный). Рассмотрим действительное сепарабельное гильбертово пространство с замкнутым подпространством — алгеброй идеальных изображений, построенной так, как это описано в разд. 4.2. Определим

где обладает заданной вероятностной мерой Р на

Случай 4.3.6 (обнаружение сигнала, сигнал — случайный). Все то же самое, что и в случае 4.3.5, за исключением того, что здесь используются в качестве исходных диффузные образы, характеризующиеся априорной мерой на

Следующий случай представляет важную вариацию на эту тему.

Случай 4.3.7 (возмущенное уравнение). Пусть линейный оператор в определим как нуль-пространство

и

где элемент в выбор которого определяется вероятностной мерой Р.

Для того чтобы придать определению (4.3.19) однозначность, необходимо наложить на дополнительные ограничения. Если, например, элементами являются временные изображения и дифференциальный оператор, то эти ограничения можно задать в виде начальных условий таким образом, чтобы начальные значения и производные вплоть до заданного порядка совпадали для

Нижеследующие деформации представляют собой комбинацию случаев 4.2.5 и 4.3 7. Если задан механизм, воздействующий на признаки образующей, и еще один механизм типа (4.3.19), воздействующий на переходный процесс, то мы получаем представление переходного процесса в виде деформированных временных образов. Длина переходного процесса и амплитуда задающего импульса в начале каждого переходного процесса являются в данном случае случайными величинами. На рис. 4.3.3 представлен деформированный образ такого типа, синтезированный численным методом; сравните его с идеальным изображением, показанным на рис. 3.4.7.

Рис. 4.3.3.

Гетероморфные деформации по определению нарушают регулярность изображений. Это может происходить несколькими способами, к двум наиболее важным из которых относятся нарушение типа соединения и нарушение отношений связей.

Иллюстрацией первого является очередной случай, в котором тип соединения нарушается посредством разрыва одних соединений и замены их другими.

Случай 4.3.8 (нарушение связей сигналов). Алгебра идеальных изображений та же, что использовалась в случае 2.4.1. Идеальное изображение состоящее из образующих связанных условиями непрерывности, заменяется изображением

состоящим из образующих причем соответствующие заданы на основе выбора значений а по некоторому распределению вероятности, которое может зависеть от а — индекса класса образующих Новая конфигурация не удовлетворяет требованиям Б. Отношения связи будут предполагаться теми же самыми.

Все это предполагает, что образующие можно найти по (см. обсуждение, проведенное в разд. 3.4).

Следующий случай иллюстрирует возможности нарушения отношений связи.

Случай 4.3.9 (возмущение отношений связи сигнала). Идеальные изображения те же, что и в случае 2.4.1. Пусть в данном случае тип соединения для со структурой не изменяется, однако начальные значения нового отрезка сигнала заменяются рандомизованным вариантом конечных значений предыдущего (деформируемого) отрезка. В остальном ведет себя как типичная алгебра идеальных изображений.

Последний случай с очень небольшими изменениями применим к конфигурациям, метрические свойства которых характеризуются теоремой 2.10.3, если отказаться от условия р-«равенство». Вместо этого необходимо только, чтобы две связи удовлетворяли неравенству где заданное положительное число. Деформированные изображения больше не относятся но если мало, то деформации едва ощутимы.

Случаи 4.3.5 — 4.3.7 представляют хорошо известные модели, заданные, однако, в более общем виде. Следующий случай тоже хорошо знаком математикам, но соответствующий анализ образов был недостаточно глубоким, несмотря на многократные попытки; описанные в литературе (см. гл. 17).

Случай 4.3.10 (размывание спектральных образов). Выбрав в качестве исходной алгебру изображений, рассмотренную в случае 2.9.5, с идеальными точечными спектральными образами, определим семейство деформаций с помощью уравнения

где .

Если имеет спектр, характеризующийся амплитудами на частотах то мы получим с непрерывный спектром плотности

Это проиллюстрировано на рис. 4.3.4, где идеальное изображение при имеет три спектральных линии (см. рис. 4.3.4, а), которые начинают размываться при увеличении параметра силы деформации На отдельных рисунках масштаб по оси ординат выбирался различным.

Практической основой случая 4.3 10 служит масс-спектроскопия (см., в частности, работу Эрнста (1966) и монографию Меддьешши (1961)), где встречаются подобные наложения кривых интенсивности, порожденных более или менее концентрированными элементарными спектрами. Могут представлять интерес и модификации уравнения

и L - некоторый линейный оператор. Когда в качестве L выбирается инфинитезимальный оператор процесса Коши (см. монографию Феллера (1957)), то возникают спектры Лоренца, и выражение (4.3.21) заменяется следующим:

Рис. 4.3.4. (см. скан)

Механизм деформации, подобный описанному, но немного более сложный, был недавно предложен для динамических образов, встречающихся а геоморфологии (см. статью Гренандера (1975в)). Рассмотрим диффузные образы, порожденные тектоническими подъемами, происходящими в некоторые моменты времени; затем эти образы деформируются эрозионным механизмом, действующим аналогично описанному в случае 4.3.10.

Имеются два противоположных механизма . Роль заключается в том, что эрозия разрушает доминирующие признаки рельефа, обнаруживая общую тенденцию к нивелированию.

Обозначим через высоту относительно некоторого произвольного нулевого уровня. Мы будем изучать динамику изменений как функцию пространства и времени.

Для упрощения анализа будем считать пространство одномерным и зададим для круговые граничные условия. Другими словами, единственная пространственная координата указывает положение точки на окружности, скажем окружности единичного круга, т. е. где 0 и 1 отождествляются.

Ограничение одним измерением не существенно для дальнейшего изложения, но, разумеется, должно быть, вообще говоря, устранено. Можно, например, определять положение как точку на поверхности сферы.

Мы постулируем, что действие механизма определяется уравнением диффузии

где положительный параметр, характеризующий силу эрозионной деформации.

Если в момент времени высота задается как то решение уравнения (4.3.24) при можно записать в виде

Сокращенно это будет записываться как

и очевидно, что множество эрозионных деформаций образует однопараметрическую полугруппу. Образующая диффузного сейсмического образа или тектоническая образующая, является образующей «мгновенного действия» и используется лишь в дискретных временных точках Ниже мы рассмотрим возможность ослабления этого условия, не приводящую к существенному изменению модели. Результат применения в момент времени заключается в добавлении члена

к правой части уравнения (4.3.24). Это равносильно мгновенному изменению в момент времени

Отметим, что это изменение соответствует одной из точек множества

Будет предполагаться, что эти точки образуют пуассонов процесс с некоторой постоянной интенсивностью к.

Относительно будет предполагаться, что все они стохастически независимы друг от друга и от моментов времени Они будут предполагаться стационарными и периодическими процессами на окружности, откуда следует, что любой из них можно записать в следующем виде:

где коэффициенты Фурье не коррелированы. Предполагается также, что для всех среднее тождественно равно нулю; кроме того, вводится спектральная мощность

сумма которой должна сходиться.

Каждому сопоставляется общее изменение — случайная переменная

Мы хотим, чтобы общая «масса» рельефа, т. е. интеграл от оставалась постоянной (сохранение массы). Очевидно, что деформации сохраняют массу, однако для это справедливо только при ; см. уравнение (4.3.28). Следовательно, мы допускаем что эквивалентно утверждению

В качестве начального выбираем произвольный рельеф соответствующий нулевому моменту времени, и вводим для такую нумерацию, что

Без ограничения общности можно выбрать уровень таким образом, чтобы интеграл от был равен нулю. В момент времени до применения имеем после. В период между

Аналогичным образом для в период между получаем

и в общем случае

Наша первая задача — выяснить, что дает уравнение (4.3.35) при увеличении времени. Высоту данного рельефа можно рассматривать как решение стохастического дифференциального уравнения в частных производных, которое соответствует тектонической деятельности, включающей пики (во времени) и являющейся стационарной (в пространстве). К. сожалению, в настоящее время стохастические дифференциальные уравнения в частных производных изучены не очень хорошо, и поэтому их общая теория не принесет нам много пользы. Все же можно справиться с этим простым стохастическим дифференциальным уравнением в частных производных непосредственно, и мы получим искомый результат, воспользовавшись методом, который, судя по всему, допускает существенное обобщение. Если окажется, что решение не стремится к статистическому равновесию по мере увеличения то это обстоятельство, естественно, сделает эту модель менее привлекательной, так что в первую очередь следует выяснить именно этот вопрос.

Разложение (4.3.33) включает случайные элементы связанные с полугруппой операторов Т. Сейчас мы убедимся в том, что прямой подход позволяет решить нашу задачу.

Отметим, что для фиксированного местоположения можно записать

где случайная функция множества обладает следующими свойствами:

Отметим, что данная случайная функция множества является функционально-значной.

Первый член уравнения (4 3.36) — детерминирован и не вызывает затруднений. Его можно записать как

воспользовавшись тем фактом, что тэта-ряд, определяющий К,

представляет собой гауссову плотность распределения на окружности. Центральная предельная теорема на окружности означает сходимость к равномерному распределению (см. монографию Гренандера (1963)), откуда следует (4.3.38).

Для упрощения записи перейдем к интервалу на единиц времени назад относительно интервала Докажем, что случайный интеграл

сходится по норме при Поскольку является ортогональным процессом, это эквивалентно доказательству сохранения ограниченности дисперсии (квадрата -нормы).

Непосредственное вычисление дает следующее:

Однако

здесь имеет место абсолютная и равномерная сходимость. Следовательно, воспользовавшись (4.3.29), получаем, что

затем

Последнее дает

Оценив математическое ожидание и воспользовавшись фактом взаимной независимости получаем

При эта величина стремится к

причем предел является конечным; напомним, что . Мы установили сходимость случайного интеграла, так что сходимость к статистическому равновесию действшельно имеет место.

Для того чтобы определить ковариации стационарного (во времени и пространстве) поля представляющего образ данного рельефа, следует просто повторить эти операции, но уже с бесконечным интегралом, который, как нам теперь известно, существует:

Для при и двух местоположений вычисляется

Получаем

Это служит доказательством следующего результата.

Теорема 4.3.1. Случайное дифференциальное уравнение в частных производных, использованное нами для описания

геоморфологических образов, определяет поле высот в состоянии статистического равновесия с ковариационной функцией (4 3.50). В частности, временная ковариационная функция имеет вид

а пространственная ковариационная функция —

Удобно воспользоваться записью

где

Эта теорема позволяет сформулировать следующий случай.

Случай 4.3 11 (динамические геоморфологические образы). Диффузные образы, порожденные деформированы посредством , так что деформированные изображения удовлетворяют случайному дифференциальному уравнению в частных производных и сходятся к устойчивому решению, характеризующемуся свойствами (4.3 51—4 3.52).

Проследить за «работой» случайного дифференциального уравнения в частных производных не так просто, и поэтому для прояснения картины был подготовлен и реализован машинный эксперимент.

Было выполнено несколько прогонов, однако мы остановимся на результатах лишь одного из них. На рис 4.3.5 представлены последовательные решения случайного дифференциального уравнения в частных производных. Значения X мало — 0,05, поэтому сейсмические явления наблюдаются не очень часто, однако значения у довольно значительны. Следовательно, имеют место радикальные, но редко происходящие изменения, в результате чего возникает холмистый рельеф.

Рис. 4.3.5. (см. скан)

Если увеличить , то мы приблизимся к режиму постоянной сейсмической активности. Мы вернемся к анализу образов подобного типа в части III