4.7. Деформации прочих типов

Те виды деформаций, которые были введены в разд. 4.2- 4.6, отражают большую часть ситуаций, встречавшихся до сих пор при синтезе образов. Вероятно, однако, что по мере постепенного распространения теории в новые прикладные области естественным образом обнаружатся новые механизмы деформаций. Сейчас мы упомянем лишь два типа , которые не вполне соответствуют тем, что обсуждались нами выше.

В основе обоих механизмов лежит один и тот же принцип, а именно — опорное пространство частично утрачивает свою структуру. Это не означает изменений опорного пространства, аналогичных рассматривавшимся в разд. 4.4, здесь имеет место более кардинальное нарушение ряда основных структурных свойств. Мы имеем в виду в данном случае два свойства: порядок и метрику.

Рассмотрим алгебру изображений и введем для 2 монотонное расширение (см. разд. 2.1). Будем считать, что Ф переводит в соответствующую алгебру изображений где правило идентификации которое сводится к

Рассмотрим произвольное идеальное изображение и допустим, что его можно представить в виде комбинации идеальных изображений Это означает,

что конфигурация, представляющая будет состоять из конфигураций, представляющих соответственно, соединенных связями, которые являются внешними для но внутренними для Обозначим множество этих связей через В.

Если в некоторой конфигурации устранить все связи, принадлежащие В, то полученная в результате конфигурация с необязательно регулярна, так что нельзя утверждать, что Очевидно, с другой стороны, что ее тип соединения принадлежит и все остальные связи по-прежнему удовлетворяют отношению связей Следовательно, с где и соответствующее изображение входит в

Теперь можно осуществить такую же операцию с произвольным подмножеством Так как связи между образующими, например, ликвидированы, то не следует заботиться о выполнении для них отношения и данное подмножество, как и выше, можно представить конфигурациями, входящими в Подмножество подизображений, не связанных межя собой, приводит к деформированному изображению в Отметим, что теряются не только подизображения, но и значения идеального изображения.

Случай 4.7.1 (расчленение изображений). Рассмотрим множество 3) всех деформаций описанного выше типа, т. е.

Следует заметить, что при монотонном типе соединения и так как должно совпадать на то из этого следует Другими словами, расчленение изображений при монотонных типах соединения приводит к возникновению автоморфных деформаций.

Рассмотрим теперь несколько примеров, подобных 3), начав с линейного типа соединения (см. разд. 2.4) и отношения порядка, заданного для действительнозначных связей. Идеальное изображение, представленное конфигурацией, изображенной на рис. 2.4.1, разбивается на подизображения, каждое из которых содержит линейно связанные образующие. Пусть состоит из переносов по времени. Некоторые из подизображений могут оказаться утраченными в результате воздействия и вообще говоря, неизвестно, какое следует применить преобразование

подобия для того, чтобы восстановить исходное под-изображение.

Такая ситуация возникает при датировке (и упорядочении во времени) археологических находок. Показатели связей — даты — обычно не поддаются прямому наблюдению, так что мы сталкиваемся с дополнительным механизмом деформаций помимо того, который разрушает порядок. Может оказаться возможным сгруппировать часть объектов в правильной последовательности с помощью дополнительной информации. Это приводит к получению вышеупомянутых подизображений. Временные отношения между подобными группами оказываются, однако, утрачены.

Рис. 4.7.1.

Если связи не поддаются прямому наблюдению, следует при восстановлении упорядочения использовать другие признаки объектов. Мы вернемся к этой проблеме в гл. 17 с позиций анализа образов.

Подобным же образом тип соединения может быть древовидным, и деформации (4.7.1) этом случае приводят к системе поддеревьев. В качестве соответствующего примера упомянем рукописные тексты, скопированные с других рукописных текстов. Порядок переписывания определяет отношения связей в конфигурации с древовидным типом соединения. Механизм деформаций (4.7.1) отражает отсутствие полных сведений о том, кто и когда переписывал рукопись.

Если, с другой стороны, мы имеем дело с изображениями, заданными на опорном пространстве, например на плоскости с и если тип соединения «полный» и отношения связей

определены как в случае 2.9.3 (сращивание образующих-соответствий), то (4.7.1) означает разбиение идеального изображения на подмножества с возможным отбрасыванием некоторых частей и сохранением остальных. Разумеется, нам не известны исходные позиции в . Эта ситуация приводит к задаче анализа образов, заключающейся в отыскании способа соединения разрозненных элементов с тем, чтобы восстановить исходное изображение с максимально возможной точностью (см. рис. 4.7.1, на котором представлены: идеальное изображение; деформированное изображение). Археологические находки представляют один из примеров данной задачи.

И наконец, совершенно иной пример, иллюстрирующий случай 4.7.1. Рассмотрим снова 2— «полный» и конфигурации, использованные в случае 2.9.7 (ортогональные представления).

Конфигурация представляется комбинацией подконфигураций и затем разбивается на множество подконфигураций, каждая из которых внутри обладает соединением полного типа, но не соединена с остальными подконфигурациями. Пусть отождествляет два такие подмножества, если а) они обладают одинаковым числом соединенных компонентов, и и б) выполняется где обычная процедура идентификации посредством приравнивания сумм соответствующих образующих. Результат воздействия в этом случае заключается в устранении некоторых ортогональных компонентов исходной конфигурации и, кроме того, в потере «амплитуд», т. е. имеется лишь множество ортогональных векторов с заданными направлениями, но неизвестными длинами. Эту ситуацию следует сопоставить с (4.5.38) (проекции), где деформации носят более умеренный характер, — разрешены проекции лишь в за данное подпространство. В данном же случае нам не всегда известно, какие ортогональные компоненты будут утрачены, и к тому же можно лишиться «амплитуд».

Для более детального рассмотрения деформаций, расчленяющих изображение, необходимо исследовать вероятностную структуру 3): каким образом свойства идеального изображения влияют на вероятность появления различных расчлененных образов? В настоящее время об этом известно очень мало, и мы не будем развивать эту тему глубже.

Вместо этого кратко рассмотрим другой тип деформаций, который следует изучить в данном разделе: изменения метрики. Рассмотрим в опорном пространстве алгебру изображений-соответствий Для заданного идеального изображения имеется множество отмеченных точек При построении используются

прототипы , так что мы имеем дело с разбиением на непересекающиеся классы прототипов (см. разд. 3.1):

Правило идентификации должно выбираться таким образом, чтобы для принадлежности двух идеальных изображений к одному классу прототипов было необходимо и достаточно выполнения , а также наличия такой нумерации соответствующих отмеченных точек и чтобы выполнялось . В данном случаев — это -инвариантная риманова метрика, основанная на элементе длины

Рис. 4.7.2.

Случай 4.7.2 (изменения метрики). Для всякого деформированное изображение определяется как множество расстояний, связывающих его отмеченные точки:

где риманова метрика с тензором в отличие от входившего в (4.7.3).

Допустим, что исходная метрика основана на евклидовом расстоянии, так что это просто единичный тензор Если расстояние между двумя точками измеряется посредством регистрации времени, за которое волна, испускаемая точечным источником достигает то очевидно, что результат зависит от скорости распространения волны с. Неоднородности среды, в которой распространяется волна, приведут к

вариациям и тензор будет равен

Общая длина равняется интегралу от взятому по геодезической линии между Случайные неоднородности, следовательно, приводят к случайно распределенной метрике.

Рассмотрим ситуацию, представленную на рис. 4.7.2, где скорость распространения волны слева от линии раздела равна а справа — Отмеченные точки образуют четырехугольник Лучи света — прямые, за исключением переломов на линии раздела, где углы подчиняются закону преломления Снеллиуса. Лучи света будут, естественно, геодезическими: принцип Ферма.

Это означает, что, измерив шестерку расстояний мы, как правило, не можем привести результат в соответствие с исходной евклидовой метрикой Анализ образов должен в таких случаях предусматривать оденку неизвестного тензора

Рис. 4.7.2, конечно, представляет весьма частный случай, однако он иллюстрирует основную проблему, возникающую при изменении метрики. Мы вернемся к анализу деформированных изображений в гл. 17.

На этом мы завершаем изучение механизмов деформации и синтеза образов. Теперь мы знаем достаточно о способах порождения и деформации образов, но лишь слегка коснулись обратной задачи: как можно восстановить структуру идеального изображения, если наблюдается лишь его деформированный вариант? Теперь мы располагаем, однако, формальными средствами для представления таких задач в точной математической форме, и их решение будет основной темой следующего тома, посвященного анализу образов.