Примечания

1.1. Терминология и обозначения данной главы несколько отличаются от тех, которые использовались в первых публикациях автора по теории образов (Гренандер (1967), (1969)). Образующие назывались раньше знании и обозначались через Преобразования подобия, обозначавшиеся прежде через здесь обозначены как 5. Эти обстоятельства не влияют на понятийную основу, остающуюся неизменной.

1.2. Образующие, представленные в этом разделе, приведены лишь как примеры. В последующих главах рассматриваются более сложные случаи.

1.4. Вероятностные источники образующих, упоминаемые в этом разделе, встречаются чаще, чем может показаться с первого взгляда. Это объясняется тем, что более сложные зависимости будут вводиться опосредованно, через конфигурационные структуры см. по этому поводу, в частности, разд. 2.10.

2.2. В предыдущих публикациях автора правила, связанные с построением пространств конфигураций и деформированных изображений, назывались грамматиками. В данной книге эта терминология не применяется, поскольку она могла бы дезориентировать читателя, вынуждая его мыслить в привычных категориях формальных языков, конечно-автоматных, бесконтекстных и т. д. Конечно, если грамматика обладает достаточной мощностью, то она позволяет породить любую необходимую структуру. Опыт, однако, убедил автора в том, что использованный в данной книге комбинаторный формализм часто оказывается более естественным и может быть легко приспособлен к конкретным приложениям. О грамматиках же мы будем говорить лишь в стандартном, более узком смысле, т. е. применительно к языкам, естественным и формальным.

Предпринимались попытки использовать грамматики для определения веб-структур и т. п. По этому поводу читатель может обратиться к работам Нарасимхана (1964), Шоу (1969) и Розенфельда (1971).

Алгебраический подход, использованный в гл. 2 и 3, можно связать с универсальными алгебрами и частичными универсальными

алгебрами (см. монографию Кона (1968)). Нам кажется целесообразным более детальное изучение алгебраических свойств конфигураций.

Мы пользуемся термином «регулярность» для обозначения того, что топология конфигурации корректна в смысле заданного типа соединений, и соединенные связи удовлетворяют отношению связи. Именно этот комбинаторный подход позволяет ввести алгебраические структуры, названные алгебрами изображений (см. гл. 3).

2.5. Образы роста определяются в пространстве-времени, так что, зафиксировав время, мы, естественно, получим пространственный образ. Такой образ будем называть моментальной фотографией образа роста.

2.6. При работе с сетевыми конфигурациями у нас имеется - выбор: образующие можно определять как заданные узлы или как отрезки, соединяющие пары узлов. В последующих главах встречаются оба варианта, что приводит к появлению дуальных образов.

2.9. В последующих главах мы будем встречаться с функциональными образами, образующими системы Чебышева. Описание систем Чебышева можно найти в монографии Карлина и Стаддина (1966).

2.10. Как указано при выводе выражения (2.10.48), данный вывод не является абсолютно строгим. Попробуйте устранить этот недостаток и доказать сходимость, используя, как и в линейном случае, в качестве исходной точки доказательства конечные конфигурации.

Заключительная часть этого раздела, посвященная вероятностным аспектам языков конечных автоматов и бесконтекстных языков, заимствована из работ автора (Гренандер (1966. 1968)). См. также работы Бродда (1976), Бута и Томпсона (1973).

Подход, развитый в разд. 2.10, открывает широкие возможности для изучения метрических свойств конфигураций. Заманчиво попробовать продолжить это изучение на типах соединений, не рассматривавшихся в этом разделе.

Вместо введения на пространстве конфигураций меры можно попробовать использовать понятие «размытости» (см. работу Заде (1965)).

При доказательстве теоремы 2.10.4 потребовалось предположить, что Странно, что возникла необходимость в подобном условии Не означает ли это, что отрицательная зависимость физически невозможна для таких конфигураций?

3.1. Основные понятия теории образов, используемые в этом разделе, были введены в работе Гренандера (19676) и обобщены в работах Гренандера (1969), (1970). Мы приводим лишь те результаты, которые будут применяться в дальнейшем, и тщательное изучение абстрактной теории алгебр изображений остается за пределами нашего рассмотрения.

По поводу выводимых образов следует отметить, что часто мы сталкиваемся со следующей ситуацией. Некоторое устройство, возможно машина или алгоритм, вырабатывает изображения в соответствии с определенными правилами. Устройство состоит из заданных элементов, так что оно само может рассматриваться как некоторое изображение из какой-либо другой алгебры изображений. Если устройство достаточно сложное, то подобная точка зрения может оказаться полезной. В этом случае можно изучать связи между изображением устройства и теми изображениями, которые оно вырабатывает.

Понятие симметрии значительно уже, чем понятие регулярности. Все изучаемые нами конфигурации будут регулярными, однако свойства симметричности результирующих изображений будут рассматриваться лишь в отдельных случаях.

3.2. Результаты второй половины разд. 3.2 взяты из работы Гренандера (19746). Остается открытым вопрос о том, можно ли применить тот же метод к синтаксически управляемой вероятностной модели в общем бесконтекстном случае.

3.3. Более подробная информация о системе Нернгин содержится в работе Леви—Стросс (1969), в частности в дополнении к первой части, которое было написано А. Вейлом.

3.4. Случайные топологии будут встречаться в части IV (см. Гренандер — Силверстайн (19756), Силверстайн (1975)). Временные образы режима недавно рассматривались в работе Анг (1974) и для задач оценки вычислительной сложности в работе Фрайбергера, Гренандера, Сампсона (1975).

3.5. Теорема 3.5.3 была доказана несколько раз при различных предположениях о гладкости. Вайтал, видимо, впервые доказал ее в общем случае.

Вывод (3.5.112) имеет длительную историю. Видимо, впервые Леви точно рассмотрел эту модель со случайной фазой.

Доказательство второй половины теоремы 3.5.4 может быть найдено в работе Бляшке (1956), стр. 115.

Четкое представление о кристаллографических группах можно получить по работе Беркхарда (1947).

Подробные данные о муаровых образах имеются в работе Теокариса (1969). Вывод (3.5.14) и рис. 3.5.22 относятся к работе Гренандера (1975).

Аппроксимация выпуклых образов, которую мы будем использовать в части III, рассматривалась в работе Маклура, Вайтала (1974).

Изображения в случае 3.5.13 были введены и подробно изучены в работе Гренандера, Лавина (1973). К этой теме мы вернемся в гл. 12 (см. приложение).

3.6. Можно было включить многие другие образы в этот раздел.

В частности, отметим, что свойства симметричности трехмерных объектов исследовались в течение длительного времени. Читателю, интересующемуся этим вопросом, рекомендуем обратиться к изящной работе Вейля (1952).

3.7. Дополнительные сведения об описании движений руки и т. д. могут быть найдены в работе Ларкина (1969), а также в работе Барнса (1949). Форма образов ручной вязки качественно рассматривалась, например, в работе Блумено (1964), а также Поттера и Корбманера (1954).

Рис. 3.7.11 является одним из многих рисунков, полученных Д. Барером при численном решении уравнения (3.7.7) для различных образующих, составляющих список движений.

Формализация поведения при страховании проведена в работе Берка (1974). Мы вернемся к этому в части IV (см. приложение), когда будем обсуждать обучение и память (см. Гренандер (1972а) и (1974в).

3.8. Критическое рассмотрение модели Тьюринга дано в работе Барда и Лодера (1174).

Чтобы установить справедливость (19), предположим, что V — собственное значение, соответствующее собственному вектору так что

Умножим обе части этого равенства на и просуммируем по при Тогда

или

где k — кратное Если нетривиален, то существует некоторое такое, что сумма в правой части отлична от нуля; отсюда следует, что .

Соотношение (28) может быть выведено следующим образом. Пусть собственный вектор матрицы в фигурных скобках в (27) с собственным значением X (пусть - четное):

Если

где

Следовательно,

где

Тогда и мы приходим к требуемому результату и получаем для границы

Чтобы установить справедливость (44), предположим, что если в остальных случаях. Тогда

так что

Большая часть материала разд. 3.8 взята по работе Гренандера (19736). Мы исходим из пространства конфигураций с довольно

свободной структурой связей и затем ищем конфигурации, на которых экстремум реализуется по крайней мере асимптотически. Это приводит нас к конфигурациям с более жесткой структурой связей. Можно сказать, что принцип экстремума приводит к уплотнению понятия регулярности.

Теорема 3.8.4 может быть обобщена по-разному. Можно предположить, что образующие имеют положительный размер, т. е. являются образующими-множествами, которые приводят к другим экстремальным размещениям. Можно также рассматривать практически важный и довольно интересный случай, когда в конфигурациях содержатся образующие различных классов. Современное представление методов морфометрики может быть найдено в работе Блакита и Реймента (1971).

3.9. Большая часть материала этого раздела основана на работе Гренандера (1968).

4.1. Основные идеи этого раздела представлены в работах Гренандера (19676), (1969) и (1970а). В последней, в частности, в явном виде предложена идея единой теории образов — попытаться рассмотреть весь процесс синтеза образов, начиная с образующих и кончая деформациями, и исследовать взаимосвязи элементов этого процесса. Примером таких взаимосвязей является ковариантность по вероятности, связывающая преобразования подобия с деформациями. Другим примером служит отношение между структурой связей и правилами идентификации. Во втором томе мы продолжим это исследование, связав методы анализа образов с лежащей в основе метода алгеброй изображений.

4.2. Дополнительную информацию о законе больших чисел для случайных компактных множеств можно найти в статье Артстайна и Вайтала (1975).

В последнее время уделялось много внимания случайным множествам как таковым. Читатель может обратиться к двум важным работам: Хардинг, Кендалл (1973) и Матерон (1975). В части III нам представится возможность воспользоваться теорией случайных множеств.

4.3. Рис. 4.3.1 и предшествующее ему обсуждение заимствованы из статьи Фрайбергера и Гренандера (1969).

Геоморфологические образы были введены в статье Гренандера (1975в).

4.5. Деформации, рассмотренные в случае 4.5.2, были исследованы аналитически, в частности, для выпуклых множеств, см..статью Реньи и Сьюланке (1964). Еще один деформирующий

механизм для выпуклых множеств, основанный на опорных полуплоскостях, рассмотрен в статье Карлссона и Гренандера (1967).

4.6. Данный раздел частично основан на статье Гренандера (1970а).

4.7. Некоторые виды деформаций, встречающихся при археологических исследованиях, обсуждаются в книге под редакцией Ходсона, Кендалла и Тотью.