3.6. Пространственные образы

Поскольку многое из содержания последних двух глав переносится на трехмерный случай лишь с небольшими изменениями, можно ограничиться более кратким рассмотрением пространственных образов. Это не означает, что всегда просто перейти от двумерного случая к трехмерному. Например, при исследовании кристаллов групповые свойства становятся намного более сложными, и анализ образов кристалла приводит к чрезвычайно трудным вопросам.

Рис. 3.5.23 (см. скан)

В последней части предыдущего раздела мы рассмотрели сопоставленные изображения считая, что они принимают скалярные значения, причем плоскость служила опорным пространством. Если эти значения интерпретировать как высоты, то более естественно говорить об изображении множества в пространстве, описывающем топографию географического района.

В случае 3.5.15 были введены образы, непосредственно описывающие земные поверхности: холмы, долины и т. д. Однако вместо этого можно исходить из образа высоты порождаемого тем или иным способом, а затем вывести из него образы, все еще придерживаясь терминологии пиков, долин и т. д., но имея в виду другую интерпретацию. Мы не будем подробно анализировать, каким способом это можно осуществить, и проведем лишь неформальное обсуждение «типичных» ситуаций.

Мы снова начнем с сингулярных точек изображения высоты, в которых градиент поля высоты равен нулю. Все остальные точки будут называться регулярными. Через регулярную точку проходит ровно одна кривая уровня и перпендикулярно к ней ориентированная кривая наклона, так что можно говорить о наклоне вниз или вверх.

Пусть -критическая точка. Рассмотрим матрицу, составленную из производных второго порядка, вычисленных в Р:

допустим, что — ее собственные значения. Если то Р классифицируется как впадина, если то Р—пик, если же собственные значения имеют разные знаки, то Р — седловая точка. На время исключим возможность обращения в нуль.

Рассмотрим два пика, показанные на рис. 3.6.1, и семейство линий наклона, исходящих от одного из пиков. Линия, соединяющая два холма, называется линией хребта и проводится через проход.

Аналогично для двух впадин имеем русла и перегородки. Русла разграничивают холмы, в то время как хребты разграничивают долины.

Случай 3 6.1 (выводимые топографические об разы). Рассмотрим множество точек, из которых можно провести прямые подъема к заданному пику. Это множество точек называется холмом, и соответствующее изображение называется изображением холма.

Аналогично, исходя из впадин и выходящих из них прямых подъема, строятся изображения долин.

Рассмотрим одно из этих выводимых изображений как часть крупного района. В угловых точках пересечётся некоторое число прямых (ребер), и по соображениям устойчивости их число чаще всего равно трем (см. Уолденберг (1972)). Однако из того, что в угловой точке пересекутся три ребра и у каждого ребра имеются две угловые точки, следует

где (углов), (ребер). Мы также вводим (площадей) — число подмножеств, порождаемых разбиением. По закону Эйлера имеем

Рис. 3.6.1.

Если некоторая площадь имеет ребер, то они будут соответствовать ребрам разбиения, не считая граничных ребер, и если мы пренебрегаем граничным эффектом, то

где .

Если не обращать внимания на число 2 в правой части (3.6.3), то при помощи (3.6.2) и (3.6.3) получим следующее приближенное соотношение:

или

та среднее число ребер в изображении

Если включить сюда и те члены, которыми мы пренебрегали, то получим, что среднее число ребер самое большее равно 6.

В случае 3.5.5 мы пытались объяснить законы Хортона при помощи вероятностно-топологических рассуждений. Можно также вывести их при помощи вышеприведенных рассуждений, но здесь мы этим заниматься не будем.

Приближенное соотношение (3.6.7) будет использовано позднее, в гл. 15, при изучении сегментации сопоставленных изображений.

Читатель заметит, что приведенные выше рассуждения не были строгими. Мы не вдавались в подробности дифференциальной топологии, анализируя кратные проходы или неизолированные точки экстремума и т. д. Тем не менее мы получили некоторое представление о «типичной» форме выводимых топографических изображений.

В разобранном случае мы исходили от трехмерного изображения и в результате пришли к разбиению плоскостей. Во многих ситуациях, например в металлургии и морфологии растений, само трехмерное пространство при помощи семейства поверхностей разбивается на ячейки.

В случаях образующими служат соответственно поверхности и Точки из конфигурации будут свободными и их мощность счетной. Следовательно, возможно объединение двух произвольных конфигураций. Отождествляя конфигурации, приводящие к одному и тому же разбиению, мы получаем коммутативную бинарную операцию в которую запишем в виде Если поверхности, которые здесь играют роль образующих, являются просто плоскостями, то будем говорить о мозаичных образах или Параметризуем произвольную плоскость Р при помощи тройки где единичный вектор и представляет нормаль к Значение соответствует длине перпендикуляра, опущенного из начала координат к плоскости Р и пересекающего ее в точке

Случай 3.6.2 (однородный пуассоновский плоский процесс). Образуем в -пространстве неоднородный пуассоновский

точечный процесс с интенсивностью

и, исходя из случайного множества плоскостей, строим результирующее разбиение.

Элементами таких разбиений являются случайные выпуклые многогранники, каждая вершина которых принадлежит ровно трем граням многогранника. Характеристика случайных многогранников в терминах их объема, площади поверхности, длины ребер и т. д. приводит к грудным задачам теории распределений, однако моменты низкого порядка изучены хорошо (см. Майлс (1972)).

Другим образом в виде двумерных сот, привлекших к себе большое внимание, является образ Вороного.

Случай 3.6.3 (соты Вороного). Введем в однородный пуассоновский точечный процесс с интенсивностью к. Эти точки будут называться ядрами двумерных сот. Каждому ядру сопоставим множество ближайших к нему точек. Результирующие элементы снова будут выпуклыми многогранниками.

Так же как и для однородного пуассоновского плоского процесса, соответствующие задачи, связанные с функциями распределения, оказываются трудными, но моменты низких порядков известны (см. Майлс (1972)).

Для двух заданных изображений образуем третье изображение так, как это описано ранее. Теперь, если мы имеем два стохастически независимых диффузных образа из случая 3.6.3 (случай 3.6.2 рассматривается аналогично), так что на заданы 2 меры, основанные на маргинальной вероятности, то рассматриваемая бинарная операция приводит к другому диффузному образу.

Поскольку «прибавление» к пуассоновскому точечному процессу объединения их точек приводит к новому пуассоновскому процессу, интенсивность которого равна сумме исходных интен-сивностей, то отсюда следует, что соединение двух диффузных образов в виде двумерных сот дает новый образ такого же типа, но с иовой интенсивностью. В этом смысле диффузные образы последних двух случаев замкнуты относительно их бинарных операций.

Родственный, но более сложный пространственный образ возникает тогда, когда рассматриваемая область пространства строится из двух фаз. При этом родительская фаза доминирует при образовании ядер новой фазы. Ядра вырастают в отдельные частицы, которые позднее входят в контакт друг с другом и благодаря взаимодействию принимают сложные формы.

Связность каждой фазы отражает важное свойство таких образов. Несмотря на большое теоретическое значение такого рода анализа топологических образов, они здесь рассматриваться не будут, и читателю рекомендуется обратиться к работам: Дихофф и Райнес (1968), Стил (1972).

Трехмерные конфигурации с разделенным» объемами могут быть получены обобщением образующих сферической формы случая 4.9.2 до образующих более общего вида.

Рис. 3.6.2.

Если узловые отношения согласования не только не допускают пересечения образующих, но также подразумевают касание, то получаем следующий вид пространственных образов.

Пусть каждая образующая задается как гладкое замкнутое и ограниченное подмножество из параметризованное при помощи координат определенных точек границы, к которым будут присоединены связи.

Каждой связи сопоставим 3 типа показателей:

а) индекс образующей,

б) координаты граничной точки,

в) направляющие косинусы нормали в этой точке.

В простейшем случае отношение согласования может сводиться к требованиям:

а) о соответствующей связи индексов двух образующих,

б) о равенстве касающихся граничных точек,

в) об ограниченности угла между нормалями некоторой константой, которая может зависеть от индексов двух образующих.

Условие (в) может быть заменено на аналогичное условие, учитывающее не только угол между нормалями, но также азимут и возвышение.

Случай 3.6.4 (анатомические образы). Образующие со своими связями и показателями связей заданы так же, как и выше, изображения идентифицируются как объединения множеств, включаемых в конфигурации.

В качестве примера приведем конфигурацию на рис. 3.6.2, представляющую в весьма схематической форме структуру костей руки человека. Для упрощения рисунка обозначения показателей связи и стрелки были опущены.

Такие анатомические образы могут быть использованы при анализе образов движения животных.