Введение

В данном томе предпринимается математическое изучение регулярных структур.

В 1966 г. на научной конференции в Лутраки, Греция, автор высказал предположение, что можно создать общую теорию образов, опираясь на ряд основополагающих концепций, которые были кратко охарактеризованы и проиллюстрированы несколькими простыми примерами. Предложение было представлено в виде исследовательской программы, реализация которой в то время только начиналась.

Ныне, девять лет спустя, значительная часть программы выполнена автором и его коллегами по Отделению прикладной математики Университета Брауна. Ее результаты будут представлены в серии книг, состоящих из нескольких томов, и данная книга является первым томом.

Второй том должен появиться вскоре после первого. Значительная часть работы, которой он посвящен, уже завершена, однако только часть фактически написана. В не столь отдаленном будущем третий, более обширный, том даст систематическое изложение теории. Предварительный вариант оглавления этого тома приведен в приложении. Предполагается, что этот том будет состоять из четырех частей, включающих двадцать глав. Данный том соответствует содержанию части II, гл. 3—6.

Чтобы избежать недоразумений, следует с самого начала подчеркнуть, что в этой книге не делается акцент на распознавание образов. Наша цель состоит не в том, чтобы выяснить, как образы распознаются в природе или как их следует распознавать с помощью алгоритмов и машин. Вместо этого объектом нашего изучения будут образы как таковые, рассматриваемые в рамках точного формализма, который будет использоваться в качестве концептуальной основы для синтеза и анализа образов, помогая нам лучше понять, как образы строятся и обрабатываются. В следующем томе этот аппарат будет использоваться систематически для описания, аппроксимации, восстановления и, в конечном счете, также и распознавания образов.

Как и в работе У. Гренандера (1967), иходными являются следующие четыре принципа. Теория будет атомистической-, образы строятся из простых стандартных блоков — знаков или образующих. Это наши неделимые элементы или атомы, и в каждом конкретном случае они будут выбираться как можно более простыми. В качестве таких элементов могут выступать абстрактные символы, множества, отношения или функции, и в следующих главах читатель встретит большое разнообразие типов образующих.

Задав образующие, мы будем настаивать на введении определенных правил, ограничивающих способы их соединения между собой. Эти правила приводят к типичным регулярностям образов и представляют их комбинаторную структуру.

Получаемые в результате регулярные конфигурации являются абстрактными конструкциями, не обязательно наблюдаемыми во всех деталях. В какой степени регулярные конфигурации могут быть идентифицированы наблюдателем — зависит от системы наблюдения. Результаты наблюдения, соответствующие некоторому множеству регулярных конфигураций, называются изображением. Основным предметом нашего исследования является множество изображений вместе с существующими между ними отношениями: алгебра изображений.

Изображение соответствует результатам наблюдения при идеальных условиях, если на наблюдения не оказывают влияния ограничения, свойственные используемой аппаратуре, и несовершенство модели. Теория образов, не учитывающая поведение образов в реальных условиях, будет иметь очень ограниченные приложения. Мы должны, следовательно, обеспечить реалистичность теории с тем, чтобы она могла оперировать реальными образами. Другими словами, нам следует рассмотреть процесс преобразования «чистых» образов в реальные с помощью некоторого механизма деформации.

Мы будем изучать образы в общем виде — образы образов, однако обсуждение будет сделано как можно более конкретным при помощи соответствующих примеров. В качестве иллюстраций к примерам мы будем пользоваться диаграммами конфигураций, прибегая к ним на протяжении всей книги. Наш подход отнюдь не является по своей природе геометрическим; образы с тем же успехом могут быть логическими, включать последовательности или представлять поведение. У Бома (1969) читатель может найти интересные рассуждения о необходимости создания формальной теории образов, но с несколько иных позиций.

В части I более полной книги, которая появится позже (см. приложение), будет подробнее показано, как изучение образов, возникающих в науке и технике, искусстве и гуманитарных науках, заставило нас настаивать на необходимости четырех вышеупомянутых руководящих принципов, определяющих наш подход как атомистический, комбинаторный, учитывающий наблюдаемость и реалистический. Некоторую информацию по этому вопросу можно найти в работах Гренандера (1969), (1970).

В данном томе (соответствующем части II оглавления, приведенного в приложении) мы будем изучать, как из образующих при помощи комбинирования, идентификации и деформации формируются образы, т. е. мы будем рассматривать синтез образов. Большая часть тома посвящена анализу концепций и изучению логической структуры используемого нами формализма образов.

Следующий том будет посвящен обратной задаче — анализу образов. Там мы приступим к делу с противоположного конца— исходя из наблюдаемых реальных образов мы попытаемся описывать и анализировать их. На этом этапе характер обсуждения меняется, и оно становится более математическим и скорее «вычислительным», чем концептуальным, причем больше внимания уделяется эмпирическим результатам.

Читатель обнаружит, что в своей работе мы пытались использовать параллельно численные эксперименты и математический анализ. Часто мы предпринимали численное исследование для того, чтобы приобрести новое понимание на интуитивном уровне. Когда такой процесс приводил к возникновению какого-либо предположения, мы пробовали доказать справедливость этого предположения аналитически.

По мере продвижения нашей работы этот способ использования вычислительной машины для проведения математических экспериментов последовательно приобретал все большее значение. Было бы очень трудно, если не сказать — невозможно, обойтись без него. Значительная часть вычислений была

выполнена в диалоговом режиме, на языке программирования АПЛ, с применением различных устройств машинной графики. Трудно в этом смысле переоценить роль эффективной диалоговой вычислительной системы.

При доказательствах мы иногда опускали некоторые моменты, связанные с теорией меры, и некоторые другие обстоятельства, когда это не приводило к значительной потере строгости. Иногда, однако, эти пропуски носят серьезный характер. В подобных случаях это указывается в явном виде, как, например, в разд. 2.10 и 3.6. Мы надеемся, что в будущем сможем устранить эти пробелы.

Из названия нашей книги очевидно, что мы будем изучать теоретические аспекты образов, и в первом томе приложения будут играть второстепенную роль. Будет ясно, однако, что основные побудительные мотивы этого исследования порождены различными областями: геоморфологией, анатомией, нейрофизиологией, спектрографией, антропологией и многими другими. Это влияние было доминирующим в развитии нашей теории.

Первые два тома следует рассматривать лишь как предварительное изложение результатов. Они содержат материал, используемый автором в своих лекциях в Университете Брауна. Лекции читались дважды как односеместровый курс и один раз — как двухсеместровый. Часть работы, выполненной нашей группой в Университете Брауна, отражена в тридцати пяти отчетах о научно-исследовательской работе (см. библиографию), однако лишь отдельные небольшие фрагменты были опубликованы. Теория находится еще в начальной стадии, но в последние несколько лет переживает бурное развитие; несомненно, что этот быстрый рост будет продолжаться по мере приложения ее к новым областям.

Изложение не столь отшлифовано и аккуратно, как этого можно было бы желать, и, следовательно, вполне возможно, что данный том содержит некоторые неясности, ошибки и непоследовательности. Следует также отметить, что теория образов — это совершенно новое направление прикладной математики, и было бы неразумно на этой стадии ожидать чего-либо иного. Автор с благодарностью примет замечания, советы и исправления.