2.11. Отображения в пространстве конфигураций

В некоторых приложениях приходится иметь дело одновременно более чем с одним пространством конфигураций, и поэтому следует изучить некоторые возможные между ними отображения. Здесь мы ограничимся упоминанием лишь двух видов подобных отображений: гомоморфизмы конфигураций и аннигиляции образующих.

Рассмотрим два пространства конфигураций и

где отображение задано как инвариант связи (см. разд. 1.1). Оно индуцирует отображение Н из в посредством задания где и структура структура . Отметим, что последнее утверждение имеет смысл, поскольку сохраняет структуру связей образующих неизменной. Индуцированное отображение Н представляет собой гомоморфизм конфигураций в следующем смысле:

Теорема 2.11.1. Отображение Н обладает гомоморфными свойствами, т. е. если то

Доказательство. Поскольку отображение оставляет структуру связей отдельных образующих неизменной, то из следует Если и структура не затрагивается преобразованием Следовательно, утверждение справедливо. И наконец, утверждение можно доказать, воспользовавшись инвариантностью связей, которая обеспечивает регулярность новой конфигурации

Рассмотрим в качестве примера сигналы, положив для простоты и считая, что концевые точки интервалов принад: лежат множеству В натуральных чисел. Воспользуемся конструкцией, приведенной в конце разд. 1.3, и будем считать, что множество всех кратных где фиксированное натуральное число. Так как В а то эта конструкция определяет инвариантное относительно связей отображение в множество новых образующих, определенных как решения уравнений для заданных дифференциальных операторов, принадлежащие, однако, Согласно последней теореме, это отображение индуцирует гомоморфизм из исходных конфигураций на новые. Подобный гомоморфизм возникает естественно при изучении изображений и их деформаций.

Допустим теперь на время, что 2 является монотонным и предусматривает оператор аннигиляции который, будучи применен к некоторой конфигурации , уничтожает в ней все образующие, принадлежащие классам индекса а заданного множества

Поскольку полученное в результате обладает корректным типом соединения в силу монотонности 2 и поскольку теперь новые соединения установлены, а все старые остаются истинными в смысле отношения связи то так что получаем отображение

Если , причем входит в , если ее индекс класса Структура получается из структуры с удалением всех соединений со связями образующих, аннигилированных при помощи

Очевидно, что теоремы (2.11.1), и если то

где — оператор соединений, полученный из о устранением всех соединений, входящих и выходящих из образующих, принадлежащих Следовательно, утверждение теоремы 2.11.1 выполняется не полностью — оно справедливо лишь в несколько модифицированной форме (2.11.3). Нет необходимости и в выполнении утверждения так как устранение некоторой образующей может привести к появлению новых внешних связей, которые прежде являлись внутренними. Следовательно, оператор аннигиляции вообще говоря, не является гомоморфизмом.