3.8. Пространственно-временные образы. Рост и распад

Образы роста, так же как и образы движений, обладают очень важным свойством: они возникают на пространственно-временном фоне. Они отличаются от образов движений, рассмотренных нами в последнем разделе, когда требовались более или менее сознательные решения и выбор альтернативных движений для достижения некоторой цели. Это не относится к образам роста, когда процесс определяется (детерминированно или стохастически) факторами внутренней организации объектов и взаимодействия их с окружающей средой. Мы можем изучать биологический рост или развитие социальных или экономических структур, но в каждом случае мы попытаемся найти такие законы роста, которые выражаются в терминах основных понятий теории образов.

Конечно, алгебры изображений будут зависеть от того, какие именно образующие используются, но прежде чем обсудить этот вопрос, рассмотрим два общих типа роста. В обоих случаях конфигурации меняются во времени, и мы говорим о развитии пространственных образов. Соответствующие изображения называются моментальными снимками образа развития. Комбинация пространственных изображений составляет изображение роста.

Если конфигурации сохраняют в процессе роста одни и те же образующие, если не считать изменений признаков, не являющихся индексами образующих, и если структура связей остается неизменной, то будем говорить о росте образующих.

С другой стороны, если допускаются изменения индексов образующих, а также возможно либо изменение структуры связей, либо же присоединение новых образующих, то говорят о росте конфигураций.

Заметим, что в последнем случае изменения, скажем, индексов образующих должны быть дискретными. Моменты времени, когда они внезапно изменяются, разбивают временное изображение на подизображения, или режимы роста. Ниже мы столкнемся с несколькими случаями, когда различные режимы роста сильно отличаются друг от друга и приводят к развитию с характерными внезапными изменениями, разделяемыми периодами более плавного роста.

Росту обычно сопутствует распад, но в дальнейшем последнему мы уделим мало (или даже никакого) внимания,

Следует предупредить читателя, что нижеописанные образы развития имеют слабое или не имеют никакого эмпирического обоснования, когда речь идет о биологических или социальных системах. Скорее они должны рассматриваться как математические модели, степень пригодности которых к биологическому морфогенезу еще не установлена. В статье Розена (1972) по биологическому морфогенезу, с которой следовало бы ознакомиться каждому заинтересованному читателю, этот момент подчеркивается при обсуждении вопроса о возможностях моделей. В данном разделе мы будем иметь дело с весьма условными моделями.

Ясно, что механизм развития образа должен быть переносом, инвариантным в пространстве и во времени. Можно было бы также привести некоторые доводы в пользу инвариантности относительно вращений, по крайней мере тех, которые происходят вокруг вертикальной оси; для организма вертикальное направление выделяется гравитационными силами. Если скорости развития в разных органах различны (неоднородное развитие), то возникает критический вопрос о способе передачи необходимой информации органам для согласования этих скоростей. Если клеткам «неизвестно их местоположение», то каков же механизм регулирования скорости развития, которое имеет место в действительности? Чтобы исключить предположение о том, что скорости развития каждого подмножества полностью запрограммированы митозом, ростом клетки и их дифференциацией, необходимо иметь некий гипотетический регулятор, и мы позднее вернемся к этому вопросу.

Теперь мы хотели бы сделать одно замечание о симметрии в образах роста. Нет ничего удивительного в том, что искусственные объекты отличаются регулярностью, — они преднамеренно создаются такими. Но почему мы видим их и в природе?

В рамках нашей теории образа роль наблюдателя основывалась на правилах идентификации. Какие именно образы будут восприняты, зависит от окружающей среды и от факторов, связанных с наблюдениями.

Но даже с учетом этих факторов бесполезно отрицать объективное существование поразительных по своей регулярности образов в физическом мире, и невольно возникает вопрос о том, нельзя ли объяснить некоторые из них, используя телеологические идеи. Если можно выразить в математической форме определенные образы, то нельзя ли объяснить их исходя из вариационных принципов? Примером мог бы служить принцип минимума потенциальной энергии.

Здравый смысл, видимо, подсказывает, что в простых средах принципы экстремума должны приводить к правильным структурам Однако при более внимательном изучении данного вопроса

выясняется, что такое объяснение не всегда годится. Действительно, как это мы увидим позднее, иногда встречаются ситуации, противоречащие интуиции, наряду с теми, в которых максимальная регулярность является правилом. Лишь подробный математический анализ может дать нам требуемые ответы, и мы вернемся к этой теме в последней части этого раздела.

Для начала рассмотрим два простых типа роста образующих, а именно выпуклого и звездообразного роста. В первом случае образующие являются полуплоскостями (см. разд. 5), а индексом образующей служит угол, соответствующий определенной полуплоскости. Образующая также имеет числовой признак совпадающий со значением опорной функции.

Если выпуклое множество гладко в том смысле, что где радиус кривизны, то, как известно, периодична с периодом неотрицателен и имеет Место соотношение ортогональности, так что функционал

Эти условия необходимы и достаточны.

Начиная с и отправляясь от какой-нибудь неинтересной выпуклой формы, например круглой или почти круглой формы с центром в начале координат, мы предположим, что изменение числового признака образующей а зависит лишь от локальных свойств а. Выразим это предположение в виде

Если мал, так что сильно искривлена в точке а, то будем говорить, что рост происходит медленно, и обратно, если велик, то быстро. Можно было бы полагать, что здесь имеет место механизм, функционирование которого зависит от размера пересечения с небольшой окружности заданного радиуса с центром в этой точке Это означает, что должна быть возрастающей функцией от

Используя выражение через опорную функцию, получим

Поучительно изучить простейший частный случай уравнения (3.8.3), когда линейна, положительные константы, так что уравнение сводится к виду

Во-первых, ясно, что это не выводит нас за пределы данной алгебры изображений. Действительно, умножая (3.8.2) на и дважды интегрируя по частям по а, получим

так что сохраняет нулевое значение по мере роста Во-вторых, гладкая функция от а и и она не принимает отрицательного значения. Если бы она приняла отрицательное значение, то, обозначив через первый момент времени, когда при она обратилась в нуль, мы имели бы . Тогда из (3.8.4) следует снова принимает положительные значения. Таким образом, опорная функция сохраняет требуемые свойства, и будет выпуклым при всех положительных

Как изменяется форма при больших Введем коэффициенты Фурье

Снова используя (3.8.4), имеем

Следовательно,

Заметим, что в (3.8.7) разделены. Эти виды роста не взаимодействуют друг с другом; к этому вопросу мы еще вернемся позднее. Коэффициент рлстет экспоненциально, в то время как другие либо равны , либо стремятся к нулю . Следовательно, нормализованное изображение приближается к кругу радиуса независимо от первоначального вида изображения.

Напомнив, что рассматриваемая алгебра изображений относится к случаю 5.9, мы можем дать другую непосредственную геометрическую интерпретацию дифференциального уравнения в частных производных (3.8.2). Обозначая через выпуклое множество с опорной функцией уравнение (3.8.2) можем записать в виде обыкновенного дифференциального уравнения

которое интерпретируется как предел соотношения

где знаки сложения и умножения алгебры изображений обозначают соответственно сложение по Минковскому и умножение на скаляры.

Наш второй образ роста действует на звездообразные области (см. случай 2.9.8). Пусть изображение в момент времени формируется исходя из образующих отрезков длины выходящих из начала координат в направлении а. Предположим, что в подконфигурации, составленной из образующих в секторе энергия поглощается через и расходуется внутри сектора и что локальная скорость роста пропорциональна избыточной энергии. Тогда два члена окажутся соответственно линейным и квадратичным, и можно попытаться задать скорость роста при помощи

где положительные константы, выражающие скорости поглощения и - расхода энергии. В качестве альтернативы к (3.8.11) можно допустить, что скорость прироста площади пропорциональна избыточной энергии. Это означает, что

Оба уравнения приводят к аналогичным качественным результатам, и поэтому достаточно рассмотреть одно из них.

Отправляясь снова от первоначального изображения приближенно круговой формы радиуса можно непосредственно решить (3.8.11) и получить

или

По мере роста значение увеличивается от до так что предельная форма окажется окружностью независимо от первоначальной формы. Это аналогично случаю выпуклого роста и опять-таки тесно связано с тем фактом, что виды роста — в данном случае развитие отдельных образующих — не связаны. Таким способом нам не удастся смоделировать образы роста для более интересных форм, чем окружности, поскольку мы не хотим модифицировать модели при помощи коэффициентов, зависящих от направления.

Теперь вернемся к звездообразному росту, но с тем важным отличием, что образующие взаимодействуют друг с другом. Чтобы избежать ненужных усложнений, теперь будем считать конфигурацию конечной, индексом образующей является Скорость роста т. е. задается так же, как в уравнении (3.8.12), за исключением того, что рост задерживается также из-за близости соседних образующих. Так как этот механизм обладает осевой симметрией, то задержка, вызванная близостью должна зависеть лишь от разности индексов Если эффект задержки носит квадратичный характер, то получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений:

где неотрицательные коэффициенты задержки определены периодично с периодом и, кроме того,

Когда рост начинается с небольшого изображения, в правой части (3.8.15) доминирует постоянный член, так что производные по времени положительны. Позднее начинают оказывать влияние линейные и квадратичные члены, и трудно предвидеть, что произойдет дальше. Существуют ли предельные формы, если да, то как они выглядят? Ясно, что круговая равновесная форма с радиусом возможна, если удовлетворяет уравнению

Физический смысл имеет лишь положительный корень

Однако это не единственная сингулярная точка системы дифференциальных уравнений (3.8.15), как мы скоро увидим. Поскольку биологическим системам присуща зашумленность, возникает вопрос о том, какие из них устойчивы. Сначала ответим

на него для случая круговой формы. Матрица линеаризованного варианта (3.8.15) в этой сингулярной точке задается при помощи

причем в данном случае Но циркулянтная матрица, так что ее единственными возможными собственными значениями являются

где принимает значения, кратные (см. примечания).

Чтобы обеспечить асимптотическую устойчивость, действительные части собственных значений матрицы А должны быть отрицательными. На самом деле они действительны, так как в этом специальном случае А симметрична (см., например, Хейл, (1969)).

Наименьшее значение обозначим через у. Но

так что необходимо

Неравенство (3.8.21) не всегда выполняется. Чтобы привести пример, допустим, что возможна лишь задержка ближайшего соседа, так что за исключением Тогда

и известно, что для больших значений собственные значения соответствуют равномерно расположенным значениям X в Следовательно, , и критерий устойчивости имеет вид

Для заданных значений асимптотическая устойчивость имеет место для малых (но не для больших) значений с. Следовательно, круговые образы служат возможными пределами роста лишь для больших значений с,

Рассмотрим звездообразную конфигурацию, заметно отличающуюся от предыдущей.

При четных впадины чередуются с зубцами. Для превращения конфигурации в равновесный образ она должна соответствовать критической точке (3.8.15), так что

Как и раньше, одним из решений является Остальные два решения таковы:

для первого, и второе получается перестановкой индексов. При подходящем выборе и с оба корня действительны и положительны, следовательно, мы имеем звездообразный равновесный образ.

При рассмотрении асимптотической устойчивости необходимо найти наименьшее из собственных значений матрицы

Но наименьшее собственное значение этой матрицы не меньше

(при условии, что проведена нормализация посредством выбора , см. замечания). Если

то являются действительными положительными числами. В этом интервале выражение (3.8.28) положительно, так что линеаризованная матрица имеет отрицательные собственные значения, и этот звездообразный образ с чередующимися большими и малыми лучами асимптотически устойчив.

Чтобы получить представление о количественной стороне, был проведен вычислительный эксперимент, заключающийся в

решении системы (3.8.15) и построении соответствующих графиков при различных значениях Конечно, форма необязательно должна иметь вид идеального круга, поскольку тогда она будет и далее сохранять круговую форму, если не помешает шум, привнесенный при вычислениях.

Приведены иллюстрации к двум случаям. На рис. 3.8.1а показан случай, где отвечает асимптотически устойчивому равновесию и предельной окружности. С другой стороны, на рис. 3.8.16 иллюстрируется случай, соответствующий (3.8.29), и здесь мы имеем звездообразную форму.

Заметим, что во втором случае рост с самого начала носит весьма регулярный характер и исходная форма довольно быстро округляется. Затем рост на долгое время приостанавливается, но внезапно возобновляется, изображение становится более нерегулярным и быстро достигает асимптотически устойчивого равновесия.

Таким образом, получаем два вида режима роста: один характеризуется стремлением к круговой форме, а другой — к звездообразной. Отметим, что в отличие от случаев, рассмотренных ниже в этом разделе, ни один режим не был заранее запрограммирован.

Слабость этих моделей заключается в том, что они игнорируют биологические помехи, за исключением факторов, связанных с выбором исходного изображения. Неизвестно, как именно введение помех влияет на устойчивость. Кроме того, даже в детерминистском случае необходимо тщательное изучение фазового изображения, в частности, надо выяснить, возможны ли другие состояния равновесия.

К этому вопросу можно было бы подойти с других позиций, если заменить полуплоскости на другое множество образующих, что было сделано в разд. 5, однако здесь мы этим заниматься не будем.

Вместо этого допустим, что образующие имеют сопоставленный тип, так что каждая является функцией в плоском опорном пространстве. Они будут интерпретироваться как концентрации химически активных веществ, причем будет соответствовать среде, в которую погружен организм. Предполагая наличие лишь двух типов процессов — диффузию и реакции, можно по крайней мере в принципе записать систему уравнений, управляющих процессом роста.

Идентификация конфигураций осуществляется посредством пороговой логики

(кликните для просмотра скана)

Пусть коэффициент диффузии вещества а равен и является постоянным. Естественно предположить также наличие противодействующей силы, представляющей сцепление, но она здесь рассматриваться не будет. Далее определяются реакции, происходящие между рассматриваемыми веществами, например реакции вида

и т. д. Первая попытка анализировать биоморфогенез таким способом была предпринята Тьюрингом (1954), основополагающая работа которого может быть рекомендована каждому интересующемуся этим вопросом. Он получил уравнения вида

где первый член в правой части соответствует диффузии, а остальные — кинетике реакции.

Тьюринг идеализировал организм, считая его одномерным тором, так что его можно рассматривать как кольцо с фиксированного радиуса. Тогда лапласиан в (3.8.32) совпадает со второй производной. Более существенное отличие от (3.8.32) заключалось в том, что Тьюринг почти полностью имел дело с линеаризованной кинетикой, соответствующей линейным функциям Им были изучены линеаризованные решения (3.8.32) при больших значениях главным образом случай двух морфогенезов, и установлен вид формируемых образов как стационарных, так и колебательных.

Отмечалась необходимость учета нелинейных эффектов (см. Отмер, Скривен (1974)). Конечно, в этом случае математический анализ явления становится более сложным, но Отмер и Скривен установили, что по крайней мере в предельных случаях можно получить свойство симметрии у образов, порожденных таким способом.

Если уравнения (3.8.32) дискретизованы в пространстве, то мы получаем некоторую систему обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающих морфогенез. Тогда изучение сингулярных точек фазовой картины, в особенности устойчивых точек, и определение соответствующих пространственных образов представляют некоторый интерес. Введение параметров в эти уравнения приводит к задачам структурной устойчивости и к теории морфогенеза Тома, которая здесь не обсуждается, но мы рекомендуем читателю обратиться к работе Тома (1973).

Рассмотрим образы роста, получаемые при помощи перестановок образующих так, что меняются лишь их координаты, а во всем остальном они неизменны. Как уже упоминалось, мы

будем искать образы, отвечающие наименьшей потенциальной энергии либо экстремальному значению согласно некоторому другому критерию.

Классы образующих индексируются посредством и две образующие, связанные друг с другом, соответствуют энергии если Пока рассмотрим лишь случай 2 — «линейный», причем равна двум двойным связям со значениями где координата образующей. Будут использованы лишь целые значения и в качестве выбрано «равенство».

Тогда полная энергия конфигурации с определяется аддитивно:

Относительная энергия определяется как среднее значение

Вводятся также соответствующие полные минимальные энергии

Конечно, этот минимум необязательно достигается в единственной точке.

Здесь нами не использованы никакие условия, исключающие какие-либо комбинации элементов из как нерегулярные. Если, например, связи упорядоченной пары не согласованы, то мы полагаем, что соответствующий элемент матрицы энергии

Точнее, упорядоченной паре образующих сопоставляется энергия если индексом а является а индексом является Матрица энергии обозначается через Т и предполагается, что ее элементы неотрицательны. Т необязательно симметрична.

Перед нами стоит следующая задача: как выглядят минимальные конфигурации в особенности тогда, когда они длинные? Проявляют ли они какую-либо регулярность?

Начнем с некоторых численных экспериментов. Чтобы не решать эту задачу перебором, применяем методы динамического программирования Введем

так что

Решая (3.8.37) последовательно для каждого I, следя за результирующими конфигурациями вплоть до некоторого заданного значения (могут существовать и другие конфигурации с такой же полной энергией)

Поучительно рассмотреть конкретный случай. Если и

то мы получим конфигурации минимальной энергии, приведенные в табл. 3.8.1.

Очевидно, что длинные цепи почти целиком состоят из символов А. На конце конфигурации проявляется граничный эффект, а именно появляется одиночный символ В.

Если

то поведение несколько более сложно; это отражено в табл. 3.8.2. Отметим изменение поведения при Если конфигурация содержит символ С, то имеется тенденция к его повторению, так что поведение в целом снова регулярно и характеризуется тем, что конфигурации в основном состоят из символов С.

Если Т выбрано так же, как и прежде, но значение теперь увеличено с 3 до 4, то пара образующих уже не играет такой доминирующей роли. В результате получаем табл. 3.8.3, отражающую тенденцию к построению цикла с редкими вставками пары и некоторыми граничными эффектами в начале и в конце.

Этот эксперимент дает основание для следующего предположения. Существует по крайней мере один цикл самое большее длины такой, что длинная конфигурация, повторяющая этот цикл, является асимптотически минимальной. Истинность этого предположения подтверждается следующим аналитическим результатом.

Теорема 3.8.1. Определим константу при помощи соотношения

где с — неповторяющийся цикл длины I, начинающийся и кончающийся одной и той же образующей. Тогда

так что наименьшая энергия асимптотически достижима при неограниченном повторении цикла, реализующего (3.8.40).

Таблица 3.8.1 (см. скан)

Доказательство. Если с — конфигурация длины I, то

где

Таблица 3.8.2 (см. скан)

Таблица 3.8.3 (см. скан)

причем число переходов . Мы также имеем

Если первая (но не последняя) образующая в с есть то если последняя (но не первая) образующая в с совпадает с то во всех остальных случаях. С другой стороны, если количество чисел, удовлетворяющих (3.8.44), таких, что все равны нулю или один равен 1, другой равен —1 и все остальные равны нулю, то в существует конфигурация, для которой является числом соответствующих переходов, хотя нет никакой гарантии, что эта конфигурация единственна (см. примечания). Асимптотически надо решить задачу линейного программирования (с непрерывными переменными)

Теперь обратимся к следующей лемме, которая по всей видимости связана с задачей о перевозках.

Лемм» 3.8.1. Рассмотрим множество -матриц. с неотрицательными элементами, удовлетворяющими соотношениям

представляет собой ограниченное выпуклое множество, крайние элементы которого могут быть записаны в виде

либо в виде матрицы, полученной из (3.8.47) перестановкой индексов. Здесь матрица перестановок объектов без инвариантных множеств и -нулевая матрица размерности .

Доказательство. Очевидно, что выпуклое ограниченное многогранное множество. Выберем матрицу и предположим, что она является крайним элементом выпуклого множества. Рассмотрим систему, состоящую из уравнений от действительных неизвестных :

Сумма левых частей последних уравнений системы 2 с учетом первого уравнения равна 0, так что ранг системы 2 самое большее равен Рассмотрим нетривиальную линейную комбинацию левых частей (3.8.48) с весовыми коэффициентами: с о для первого соотношения и для остальных. Тогда необходимо выбрать а так, чтобы по крайней мере один и удовлетворялось тождество

Коэффициенты при должны обращаться в нуль, и для получим

и т. д. Это означает, что при Но это как раз соответствует упомянутому линейному соотношению. Поскольку нет других нетривиальных линейных соотношений, составленных из левых частей 2 и тождественно равных 0, ранг системы равен

Теперь допустим, что X имеет по крайней мере положительных элементов. Найдем решение системы 2, полагая остальные элементы равными 0; нетривиальное решение существует, и с его помощью составляем

где упомянутое выше матричное решение. Если достаточно мало, но то X не может быть крайней. Таким образом, любая крайняя X не может иметь более чем положительных элементов.

Обозначим через число таких положительных элементов. Если , то положительный элемент должен быть равен 1 и он должен появиться в той же строке и в том же столбце. Если то получаем одну из двух форм

Обе они имеют вид Тем самым становится ясно, как завершить доказательство. Пусть число строк с положительными суммами (конечно, для столбцов имеем то же самое число). Если то каждая строка и каждый столбец будут иметь положительный элемент: это означает, что подматрица либо имеет вид либо может быть записана в виде прямой суммы таких матриц. Если то будем иметь одну строку (один столбец) в подматрице, не содержащей никаких положительных элементов, и утверждение может быть доказано при помощи индуктивных рассуждений.

Чтобы увидеть, что матрица X вида (3.8.47) действительно является экстремальной, предположим противное. Пусть существуют , такие, что Тогда как , так и должны иметь положительные элементы, расположенные в первых столбцах и строках. Более того, они должны находиться в позициях, в которых Р, имеет единичные элементы. Все эти положительные элементы должны быть равны между собой, поскольку не имеет инвариантного подмножества из элементов. Следовательно, в соответствии с первым уравнением (3.8.46) все они должны быть равными

Поэтому произвольная X может быть выражена в виде выпуклой комбинации крайних X, которые обозначим через

Тогда требуемые минимальные значения (3.8.45) можно получить, полагая где соответствует наименьшему а все остальные приравнивая нулю. Но это равносильно нахождению в (3.8.44), что можно понять, учитывая, что матрицы Р, представляют собой -кратные матрицы перестановки элементов. Следовательно, асимптотически минимальная конфигурация может быть получена повторением цикла, соответствующего перестановке определенных образующих, как это утверждалось в теореме.

Отметим, что мы не утверждали того, что не существует таких непериодических конфигураций, которые также являются асимптотически минимальными. Действительно, если дана асимптотически минимальная периодическая конфигурация, то всегда можно нарушить ее периодичность, в то же время сохраняя свойство асимптотической минимальности путем изменения числа ее образующих, при условии, что это число представляет собой

Теперь вернемся к двумерному варианту данной задачи. Рассмотрим конфигурации, внутренняя структура которых представляет собой квадратную решетку с образующими, имеющими 4 (двойных) связи. Каждой связи соответствует показатель направления и два показателя, задающие положение, как показано на рис. 3.8.2. Отношение связей сводится к тому, что числа, задающие положения, равны и что значения направлений появляются в виде одной из комбинаций

Полная энергия конфигурации определяется аддитивно по всем внутренним связям при помощи простого выражения

суммированного по всей конечной решетке, причем на границе производится очевидная модификация. Так как Т необязательно симметрична, то направления стрелок в конфигурации существенны. Однако асимптотически это не имеет значения. В выражении для полной энергии у нас будет один член вида но в него также войдет член вида что нарушается на границе; но вклад, вносимый границей, асимптотически является незначительным. Следовательно, нам нужно только найти

Пусть этот минимум достигается при обозначим Тогда очень простая конфигурация, приведенная на рис. 3.8.3, будет иметь асимптотически минимальную

энергию. В этом случае асимптотически минимальная относительная энергия будет равна .

Причина того, что двумерный вариант оказался столь простым, объясняется простой структурой окрестности. Если, например, исходить из восьми соседей, то результат трудно предсказать. Даже проведение численных экспериментов кажется трудным, поскольку нельзя непосредственно использовать подход динамического программирования.

Мы предполагали, что образующие конфигурации были соединены лишь локально, взаимодействуя с ближайшими соседями.

Рис. 3.8.2.

Рис. 3.8.3.

Можно полагать, что именно это является причиной возникновения асимптотически регулярного образа. Чтобы выяснить, так ли это, рассмотрим конфигурации с глобальными взаимодействиями. Применяемая модель навеяна морфологическими исследованиями корневой системы растений и деревьев, но при этом ничего не утверждается хотя бы об отдаленной связи нижеизложенного с реальной биологией. Подобная цель здесь не преследуется, хотя развитие модели в этом направлении кажется заманчивым. Однако в данный момент мы рассматриваем лишь теоретические образы.

Если размещение образующих в опорном пространстве управляется принципом экстремума, гарантирующего минимальную потерю энергии, то приводит ли это к регулярной конструкций. Чтобы исследовать этот вопрос, предположим, что образующие составляющие свободную конфигурацию, распределены на подмножестве опорного пространства Здесь положение образующей задано в виде и

хотя энергия доступна, она необязательно используется в каждой точке . В качестве единицы выбран максимальный поток за единицу времени, образующих, которые могут представлять ботанические виды или экологические типы, необязательно используют максимальный поток энергии. Они могут экранировать друг друга в соответствии с некоторой функцией Если образующая, то предполагается, что потеря потока в точке в результате экранирования равна

а полная потеря счет экранирования

Рис. 3.8.4.

Для обоснования такого мультипликативного взаимодействия может оказаться полезным следующий пример. Пусть образующая сопоставлена с окружностью радиуса Если вся система с конфигурацией может поглощать энергию из области, представляющей собой объединение окружностей, то полный поглощенный поток равен площади горизонтально заштрихованной области на рис. 3.8.4. Остаток потока полной энергии, или потерянная энергия, может задаваться гак же, как в соотношении (3.8.61), когда

Конечно, это вырожденный случай, когда К принимает лишь два крайних значения 0 и 1, и мы будем интересоваться более плавными переходами от 0 (полное поглощение) к 1 (полная потеря). Ниже мы будем предполагать, что -неотрицательная функция, равная нулю только тогда, когда и стремящаяся к 1 при

Мультипликативное взаимодействие имеет простую вероятностную интерпретацию. Рассмотрим полезный поток энергии, поступающей из небольшой окрестности точки Благодаря экранированию система, представленная рассматриваемой конфигурацией, либо поглотит энергию, либо потеряет ее. Пусть вероятность потери за счет экранирования равна Если эти события независимы, полная вероятность потери будет задаваться выражением (3.8.61). Тогда интеграл Е в (3.8.62) представляет математическое ожидание.

Вырожденный пример с окружностями связан с задачами покрытий в плоскости (см. Тот (1958)). Мы не утверждаем, что для конфигураций с конечным числом образующих принцип минимальной потери, выраженный посредством мультипликативного взаимодействия, приводит к регулярным структурам. Это происходит лишь асимптотически для больших конфигураций. Уточним это следующей теоремой.

Чтобы удобно выразить асимптотики, исследуем для данной формы конфигурации среднюю потерю

Понятие формы конфигурации определяется так: если ввести

то можно записать

где дискретная мера с точечной массой в каждой из образующих Теперь мы получим асимптотики, предполагая, что абсолютно непрерывна с плотностью, не изменяющей свою форму при стремлении к бесконечности. Тогда плотность будет равна Чем больше меняется тем менее регулярна структура. Наиболее регулярное поведение связано с постоянной а именно

Этот результат можно сформулировать следующим образом.

(кликните для просмотра скана)

Бели не принадлежит границе то полный интеграл неотрицательного ядра на равен

так как область интегрирования Но если ядро интегрируется на за исключением окрестности то предельное значение интеграла равно 0. Следовательно, ядро является сингулярным, и

почти для всех последнее следует из непрерывности . С другой стороны,

и подынтегральное выражение в (3.8.75) ограничено единицей ввиду сходимости ограниченной величины

Этот интеграл является нелинейным функционалом от и мы должны найти его минимум. Поскольку а положителен, а к отрицателен, то функция вогнута по так что

при

Этим завершается доказательство теоремы.

Замечания, Здесь конфигурация образующих была свободной. На образующие не накладывались никакие ограничения, за исключением того, что они должны быть расположены в Однако принцип экстремума вводит ограничение, и именно это делает конфигурацию регулярной, по крайней мере асимптотически.

Условия теоремы более жесткие, чем это требуется. Видимо, необязательно должна быть непрерывной, и достаточно потребовать ее интегрируемости. Форма области также необязательно ограничена. Доказательство проходит в общем случае, если, скажем, сфера заданного радиуса и Единственное, что меняется, это нормировка константы, поскольку объем отличен от 1.

Если полезный поток энергии неоднороден на но зависит от то можно ожидать, что картина изменится. Она действительно

меняется, и характер изменения кажется неестественным. Этот случай стоит рассмотреть подробнее.

Пусть полезный поток энергии, где неотрицательная непрерывная функция, так что (3.8.62) заменяется на

Для конкретности пусть квадрат со стороной как на рис. 3.8.5; соответствующие оси координат показаны на рисунке.

Рис. 3.8.5.

Если нормированная плотность на то при помощи рассуждений, сходных с вышеприведенным рассуждением об асимптотике, имеем, что плотность образующих в равна

Повторяя рассуждение об асимптотиках из доказательства теоремы, мы приходим к функционалу

Теперь допустим, что зависит лишь от отсчитываемой оси, направленной вниз от и она убывает с ростом Читатель может считать эту систему плоской корневой системой, распространяющейся вниз, с убывающим потоком полезной энергии, т. е. с почвенным градиентом.

Ясно, что при минимизации вклад, вносимый горизонтальным отрезком (пунктир на рис. 3.8.5) равен так что на этом отрезке можно считать постоянной. Тем самым задача сводится к одномерной.

Теперь задача формулируется следующим образом (ниже для простоты используются другие обозначения): найти минимум

(если он достижим) функционала

где неотрицательная функция удовлетворяет условиям

в то время как заданная функция, предполагаемая

Можно рассматривать лишь невозрастающие Действительно, если удовлетворяет (3.8.87) и убывает на каком-то множестве, то всегда можно заменить ее на другую функцию такую, что также удовлетворяет (3.8.87). Это можно осуществить посредством отображения [0,1] на себя с сохранением меры (см. Харди, Литлвуд и Пойа (1934). Соответствующий класс функций обозначим через

Пусть последовательность элементов из таких, что

Используя неравенство

с помощью диагональной процедуры можно выбрать такую подпоследовательность из что по лемме Фату для любого рационального числа сходится к некоторой

Таким образом, этот минимум достигается в Каковы свойства Пусть

Отметим, что значение в одной точке не изменяет Используя непосредственное вариационное доказательство, убеждаемся, что постоянна на поэтому

где k — константа. Конечно, эта константа не произвольна; так как должна быть неотрицательной, то

поскольку полный интеграл от должен быть равным — . Эти два условия достаточны, чтобы гарантировать за исключением случая, когда . Мы увидим, однако, что последний случай не имеет места.

Если задается соотношением (3.8.93), то наш функционал принимает вид

Решая (3.8.95) относительно к и подставляя в (3.8.94), получим

Функция непрерывно убывает от до Последнее утверждение следует из того, что при любом фиксированном

Следовательно, уравнение

имеет единственный корень Поэтому должен находиться между После дифференцирования по из (3.8.95) получим

Следовательно,

Записывая получим

Учитывая (3.8.94), , так что

Следовательно, чтобы уменьшить Е, мы должны сдвинуть как можно правее, т. е. до значения Объединяя эти результаты, мы получаем следующую теорему:

Теорема 8.3.3. Минимум при заданных условиях (3.8.88) и (3.8.89) достигается при плотности образующих

где решение уравнения

Искомый минимум:

Чтобы получить представление о том, как выглядит экстремальная конфигурация, рассмотрим конкретный пример. Пусть дан линейный градиент почвы

Тогда будет задаваться с помощью

Чтобы получить простые численные значения, положим Тогда

Тогда фактический образ состоит из конечного набора образующих, порожденных мерой на квадрате, где вертикальная маргинальная плотность, а на горизонтальных отрезках прямых заданы

равномерные условные плотности. На рис. 3.8.6 проиллюстрирована конфигурация размера полученная при помощи такой вероятной меры.

В соответствии с уравнением (3.8.100) результирующая конфигурация проявляет себя как довольно регулярный образ, она имеет наибольшую плотность в верхней части, при спуске плотность убывает. Этого можно было ожидать по первоначальной формулировке модели. Однако удивителен тот факт, что плотность не только уменьшается по мере дальнейшего спуска, но она равна нулю при дальнейшем продвижении, начиная от Этот эффект глубины было трудно предвидеть, и он кажется примечательным даже сейчас, когда дано формальное доказательство.

Рис. 3.8.6.

Теперь обратимся к другому аспекту той же экстремальной задачи. В предыдущей формулировке мы рассмотрели конфигурацию образующих, распределенных на заданной площади. Число образующих было фиксированным и большим. Асимптотически это описывалось плотностью на плоскости.

Теперь допустим, что в качестве образующих используются не точки из а направленные отрезки прямых, причем и значение показателя связи соответствует концевой точке. Пусть «равенство». На этих прямолинейных отрезках выберем точки (элементы поглощения) с постоянной линейной плотностью (см. рис. 3.8.7). При этом корни идеализируются как прямые с общей вершиной и с точками поглощения энергии, равномерно распределенными по прямолинейным корням. Пусть теперь фиксированное, но большое натуральное число — соответствует числу корней. Для асимптотик используем непрерывное

описание. Если — плотность концевых точек корней, то какова результирующая плотность для точек поглощения энергии? Если мы сможем ответить на этот вопрос, то мы сможем двинуться дальше и рассмотреть экстремальную задачу того же типа, как и раньше, но с тем отличием, что теперь мы налагаем ограничение на число концевых точек корней.

Рис. 3.8.7.

Чтобы выразить плотность через рассмотрим небольшую кольцеобразную область в полярных координатах. Чтобы точка поглощения принадлежала А, через нее должен пройти корень и точка поглощения на этом корне должна попасть в А. Тогда получаем произведение

где - расстояние от начала координат до границы области по направлению а. Следовательно,

При каких условиях данная требуемая плотность может быть реализована корневой системой? Из (3.8.112) ясно, что должна быть абсолютно непрерывной с неположительной производной

и все утверждения справедливы «почти всюду». Уравнение (3.8.113) позволяет найти корень и плотность системы, что приводит к заданной плотности точек, если, конечно, такая система существует.

Даже в простых случаях это необязательно так. Мы показали, что для модели, не имеющей градиента почвы, равномерное распределение точек имело место благодаря принципу экстремальности. Это означает, что и из (3.8.113) получаем лишь противоречивое соотношение

Не существует распределения корневой системы, приводящего к равномерному распределению. Как можно выйти из этого положения? Мы использовали абсолютно непрерывные меры с интегрируемыми плотностями Их множество замкнуто по норме но на самом деле нам нужно лишь замыкание по слабой топологии мер. Поэтому мы должны использовать на этот раз -меры более общего вида.

Возвращаясь к доказательству теоремы 3.8.2, мы должны найти меру минимизирующую функционал

где с — положительная константа, и подынтегральное выражение в экспоненте изменяется по лучу до границы в направлении маргинальная плотность значений угла а. Как мы увидим, этот класс мер достаточно широк, чтобы искомый минимум был достижим. По направлению а мера нормируется к единице; это осуществляется при помощи

Для минимизации (3.8.115) сначала фиксируем и варьируем распределение по лучу. Внутренний интеграл должен быть сделан как можно большим, это означает, что для всех мер на границе мы должны считать

При таком допущении после замены переменной имеем

где Н — неотрицательна, убывает и дифференцируема. Доведем до конца наш анализ для случая который качественно не отличается от общего случая, и следует отметить, что функция Н общего вида может рассматриваться при помощи того же метода. Конечно при этом экспоненциальная и логарифмическая функции должны быть заменены соответственно на Я и на обратную ей функцию.

Теперь она неотрицательна и ее интеграл равен 1. Но (3.8.116) сходно с (3.8.84), и с некоторой модификацией

можно применить тот же метод. Здесь мы пользуемся симметрией относительно вертикальной оси для несимметричной области в дальнейшем потребуется небольшая модификация. Во-первых, воспользуемся отображением на себя с сохранением меры, в результате чего становится невозрастающей и условия для не меняются. Далее мы повторяем предыдущее рассуждение и получаем

причем

и

Снова путем дифференцирования (3.8.118) и (3.8.119) по получим

полагая Но из (3.8.118) следует, что , так что производная в (3.8.119) неположительна, и мы должны сдвинуть как можно дальше вправо без нарушения ограничений.

Однако теперь ситуация отлична от той, которую мы имели в предыдущем случае, поскольку ограничена величиной, сильно отличающейся от 0, что не согласуется с (3.8.84). Функция

принимает значение при и убывает. Поэтому мы Должны положить если в противном случае где корень уравнения

Для квадратной области граничное расстояние задается так:

причем и сохраняется зависимость от с, т. е. от линейной плотности там, где возникает точка разрыва соответствующая при преобразовании, сохраняющем меру. Имеется 3 возможности:

Эти три случая приводят к корневым системам, показанным на рис. 3.8.8 лишь схематически, для иллюстрации качественного поведения.

Рис. 3.8.8.

Здесь мы сталкиваемся еще с одним явлением, а именно эффектом расстояния. Корневая система имеет тенденцию к длинным корням. В случае I это не столь очевидно, хотя уравнение (3.8.117) указывает на то, что даже в этом самом крайнем случае

дело обстоит именно так. В случае II это становится более очевидно, и вся система в целом спускается вниз, оставляя часть области свободной. В наиболее интересном, третьем случае эта тенденция даже приводит к разрыву корневой системы на две компоненты, связанных друг с другом лишь на вершине.

Снова рассмотрим конфигурацию, состоящую из точечных образующих, разбросанных на В предыдущем случае образующие экранировали друг друга. Теперь предположим, что они уравновешивают друг друга, что должно привести к статическому равновесию. Какая конфигурация имеет наименьшую потенциальную энергию?

Допустим, что полная потенциальная энергия состоит из суммы всех членов вида где Р — заданная функция разности векторов указывающих положение двух образующих. Так же как и раньше, рассмотрим эту задачу асимптотически и используем непрерывную плотность Аппроксимируем сумму

при помощи интеграла. Получаем два типа регулярных образов, а именно равномерные и сосредоточенные, когда все образующие располагаются в одной точке.

Предположим, что ограниченное выпуклое подмножество что на самом деле даже больше, чем требуется. Тогда имеем следующий результат.

Теорема 3.8.4. Пусть функция потенциальной энергии принадлежит причем

Для конфигурации частиц, точечных образующих, распределенных на с неотрицательной и непрерывной плотностью формы полная потенциальная энергия задается выражением

которое минимизируется при равномерной формой

а при энергия может быть сделана сколь угодно малой сосредоточением образующих в единственной точке.

Доказательство. Имеем

так что

где интегральное ядро

Но ограничена, интегрируема, поэтому равномерно ограничено. С другой стороны, если то область интегрирования в при стремится заполнить все пространство и на основании все тех же свойств

почти для всех Теперь при любом фиксированном 2, и благодаря сходимости подынтегральной функции в (3.8.131) имеем почти всюду

Учитывая также сходимость подынтегральной функции в (3.8.129), мы доказываем справедливость (3.8.126). Последнее утверждение теоремы доказывается непосредственно. В частности, если Р отрицательна, то ясно, что точная нижняя грань предела равна Можно получить сколь угодно малые значения, выбирая функцию Ф близкой к так что частицы стремятся к сосредоточению в единственной точке.

Здесь важен тот факт, что принцип экстремума приводит к асимптотически регулярной конфигурации, какова бы ни была форма области или вид потенциала взаимодействия при этом накладываются лишь незначительные ограничения.

Можно поставить вопрос об истинной причине тенденции к одному из этих двух простых образов. Полная потенциальная энергия состоит лишь из энергии взаимодействия, поле внешней силы отсутствует. Интересно выяснить, что происходит, если потенциал полностью сосредоточивается вдоль границы и постепенно перестает влиять на форму экстремальной конфигурации при стремлении к бесконечности.

Если то правая часть (3.8.126) равна нулю независимо от формы конфигурации. Тогда утверждать, что выбор не имеет значения, равносильно уклонению от поставленного вопроса. Нужно более тщательно рассмотреть асимптотики, получить главный член асимптотического разложения затем попробовать максимизировать по

Сходная задача, но с другой мотивировкой рассматривалась в дискретной постановке (см. работу Гренандера и Вайтала (1969)) для весов, которые удовлетворяют соотношениям

где Р — определенная неотрицательная функция. Было показано, что если сумма, соответствующая вышеприведенному интегралу, равна нулю,

то с увеличением последовательность принимает форму параболы. Для типичного случая эта тенденция графически отражена на рис. 3.8.9. В случае в случае Тенденция к параболической форме была подтверждена авторами и аналитически.

Если этот результат остается справедливым для нашей непрерывной задачи, то это означает, что даже в случае лишь одного класса образующих возможны асимптотические образы, отличные от равномерных и сосредоточенных образов.

Мы продемонстрировали, как в некоторых случаях принцип экстремума вынуждает конфигурацию принимать форму регулярного образа. Однако следовало бы отметить, что экстремумы необязательно единственны и что все утверждения носят асимптотический характер. Только для больших конфигураций регулярный вид объясняется принципами экстремума.

Наш результат хорошо согласуется с утверждением Фейеша Тота (1953): «Регулярный вид экстремальной фигуры часто является следствием требования экстремальности».

До сих пор мы предполагали, что число образующих остается постоянным, и имели дело с ростом образующих. Если отказаться от этого допущения, то картина резко меняется.

При росте конфигураций, к рассмотрению которого мы теперь приступаем, конфигурация сильно меняется, например в нее включаются дополнительные образующие. Если представить себе образующие в виде ячеек-клеток, каждая из которых занимает

определенный объем и которые не пересекаются друг с другом, то рост будет зависеть от механизма, производящего дополнительные клетки. Пусть время дискретно рассмотрим двумерное дискретное пространство, состоящее из точек решетки с целочисленными координатами.

Наверное, большинство математиков, как профессионалов, так и любителей, увлекаются играми. Несколько лет тому назад была изобретена очень увлекательная математическая игра — «игра в жизнь». Изобретатель игры Конвей предложил следующие правила рождения и смерти. Каждой точке решетки сопоставляют восемь соседей .

Рис. 3.8.9.

Если изображение в момент состоит из множества точек решетки то оно заменяется на новое множество в соответствии с правилами, зависящими от числа соседей принадлежащих к

Эти правила выбраны так, чтобы привести к сложным образам роста, а не к модели биологического развития. Действительно, возникают некоторые любопытные образы, часть которых

приходит к равновесию, другие колеблются, а какая-то часть неограниченно растет.

На рис. 3.8.10 в качестве иллюстрации приводим образы роста, полученные из первоначальных конфигураций, состоящих из 4 клеток. В случае а, б, в и г устойчивые конфигурации достигаются быстро. В случае предела нет, «светофор» периодически переключается.

Читателю, увлекающемуся математическими играми, будет интересно проследить жизненные истории более сложных начальных конфигураций. Их эволюцию во времени довольно трудно предугадать, и часто появляются неожиданные ситуации.

Наверное, это больше, чем утонченная салонная игра. Конечно, правила (3.8.135) могут казаться искусственными в биологическом смысле, но, быть может, альтернативные правила приведут к моделям с многообещающими возможностями. Рассмотрим одну такую модель, отличающуюся от предыдущей тем, что

Иными словами, марковский стохастический процесс, значениями которого служат множества. В момент мы исходим из некоторой простой формы и хотим проследить ее развитие.

Насколько быстро растет? Рассмотрим поведение стохастического процесса

и, в частности, изучим зависимость от начального размера . С помощью моделирования на был проведен эксперимент. Процедура повторялась несколько раз, и распечатывались формы последовательных и значения Были распечатаны также граничные статистики, поскольку модель допускает рост лишь на границе, причем путь развития зависит от точной структуры границы. Для характеристики роста были выбраны величины

(кликните для просмотра скана)

Эмпирически было установлено, что при больших

где близко к 4 (это связано с определением используемой окрестности), и при для больших

Эти числа приведены лишь для иллюстрации типичного поведения Имеют место значительные случайные вариации вблизи этих значений, однако для больших картина постепенно стабилизируется.

При обосновании конкретного выбора параметров рождения, чувствительных к изменениям на границе, предполагалось, что каждый сосед может породить новую клетку с вероятностью 112. Если события независимы и мы добавляем клетки при помощи логической операции «или», то в результате получаем указанный Р-вектор.

Представляют интерес также другие варианты Р, и они также исследовались (см. ниже).

На этом этапе мы не пытались провести полное аналитическое рассмотрение модели. Вместо этого была высказана мысль, что поведение границы должно быть использовано путем применения следующего эвристического подхода. Если задано, то каков ожидаемый рост

Если мы примем, что (3.8.140) и (3 8 141) справедливы, то можно ожидать, что приближенно выполняется

где характеризует общее поведение границы и

служит характеристикой тонкой структуры Отсюда

или

так что

Чтобы поближе познакомиться с реальным поведением мы аппроксимируем его с помощью процесса рождения, обладающего интенсивностями

Это означает, что если где

причем распределены по экспоненциальному закону со средними значениями

Последовательность удовлетворяет условию Ляпунова для центральной предельной теоремы (см., например, Крамер (1947), стр. 215). Действительно, сумма дисперсий оценивается так:

в то время как сумма абсолютных величин третьих моментов

сходится, так что стремится к нулю, как это и требовалось. Однако отметим, что скорость сходимости довольно мала.

Отсюда следует, что если вероятность события то

и

Выберем такими, чтобы

причем

и для выполняется Тогда можно утверждать, что с вероятностью лежит между . Но так как , то отсюда следует

так что асимптотически растет как функция

На этот результат можно смотреть как на закон больших чисел для модели роста. После такого эвристического отступления вернемся к вычислительному эксперименту. На рис. 3.8.11 с помощью двух символов показан пример графиков и его оценки по (3.8.147). Соответствие между ними кажется хорошим.

Рис. 3.8.11.

Мы также рассмотрели форму в частности, при больших значениях Первоначально мы предположили, что нормализованная форма будет стремиться к окружности, но вычислительный эксперимент не подтвердил этого. Видимо, она зависит от от того, как они изменяются по

Если по мере роста растут, то можно ожидать, что нерегулярности на быстро заполняются и граница окажется гладкой, почти без дырок.

С другой стороны, если уменьшаются по то имеет место обратное: становится нерегулярной, и дырки заполняются медленно.

На рис. 3.8.12 приведены две распечатки. Внутренние дырки не показаны. На рис. 3.8.12а их мало, но на рис. 3.8.126 имеем среднее число дырок. При этом рис. 3.8.12а соответствует первому случаю, а рис. 3.8.126 — второму. В дополнение к сказанному отметим, что в первом случае имеется явная тенденция к ромбовидной форме. Причина не совсем понятна, возможно, это происходит из-за выбора окрестности, состоящей лишь из четырех элементов: восточное, северное, западное и южное направление. Может быть, стоит попытаться провести дальнейший

эвристический анализ, предполагая, что случайный вектор

образует марковскую цепь, причем Строго говоря, это не так, но можно полагать, что такой анализ привел бы к аппроксимациям с высокой степенью точности, так как уже грубая попытка получить (3.8.147) завершилась удачно.

Рис. 3.8.12а.

Теперь допустим, что рост конфигурации влияет не только на число конфигураций, но также на их индексы. Пусть образующие соответствия, представляющие собой поля с осевой симметрией и центром Такое поле можно выразить в виде скалярной функции от

Идея состоит в обеспечении клеток позиционной информацией в смысле Уолперта (1970). Если предположить, что поля порождаются путем сложения образующих то тем самым будет определен

градиент, который предположительно будет действовать на отдельные клетки, и они будут двигаться в соответствующем направлении.

Образ развития будет порождаться с помощью двух механизмов, один из которых задает движения клеток и центров полей, а другой определяет переходы от одной образующей к какой-либо одной или нескольким другим образующим. Второй механизм вызывает изменение индексов образующих.

Рис. 3.8.126.

Рассмотрим в момент времени конфигурацию, состоящую из нейтральных образующих и конечного числа активных образующих с индексами и позициями Суммарное поле в момент времени примет вид

Под воздействием этого поля нейтральная образующая при будет двигаться в соответствии с законом

С другой стороны, активные образующие двигаются по закону

где

суммируется по всем отличным от Поле необязательно симметрично по индексам образующих

Переходы зависят от возраста активной образующей. Пусть возраст равен Тогда в момент времени имеем переход

где зависят от а, и позиции новых активных образующих на правой стороне определяются относительно центра в момент перехода. Конечно, новые образующие в момент рождения имеют нулевой возраст. Благодаря переходам эти образы роста демонстрируют режимы — интервалы времени с однородным поведением. В противоположность случаю звездообразного роста теперь режимы как бы встроены в организм.

Рис. 3.8.13а.

Из выражения (3.8.163) для скоростей клеток следует, что

так что движение не содержит вращения, причем локальная скорость роста задается лапласианом поля Если мы хотим получить разумные образы роста, то может оказаться необходимым допустить существование особенностей при малых значениях аргумента. Это предохраняет образующие от взаимопроникновения и экранирования друг другом.

Функции могут быть возрастающими или убывающими. В первом случае образующие отталкивают друг друга, во втором — притягивают. Для мы рассмотрели лишь возрастающие функции. Мы также допустили, что поля имеют ограниченные радиусы, так что при больших значениях аргумента

Имитация этой модели привела к ряду образов роста, некоторые из них показаны на рис. 3.8.13.

На рис. 3.8.13а можно наблюдать переходы, и начальная конфигурация имеет три образующие. На рис. 3.8.136 и 3.8.13в исходное число образующих соответственно равно 4 и 2, но переходы

(кликните для просмотра скана)

также наблюдаются. Довольно странное поведение на границе вызвано тем, что используемые функции обращаются в нуль, если значения аргументов превосходят некоторую пороговую величину.