1.3. Конкретные образующие

Нам не очень часто придется иметь дело с абстрактными образующими. Обычной является ситуация, когда образующая определена применительно к некоторой среде Опорное пространство, X, может быть практически любым: прямая, многомерное евклидово пространство, гильбертово пространство или подмножество любого из этих пространств.

В опорном пространстве можно задать определенные преобразования , которые можно использовать для определения инвариантных свойств образов. Они должны образовывать полугруппу с единицей и индуцировать на множестве образующих отображения, которые будут рассматриваться как преобразования подобия. Для обозначения обоих отображений удобно использовать одни и те же символы

Определение 1.3.1. Если образующие являются элементами опорного пространства X, то они называются точечными образующими.

Случай 1.3.1 (числовые признаки). Пусть и образующая состоит из идентификатора и значения в -преобразования заключаются в изменениях масштаба

В качестве идентификаторов можно использовать длину, ширину, частоту и тому подобное. Следует отметить, что преобразование подобия может затронуть только один класс образующих и оставить остальные образующие без изменений, причем значения могут быть разными для разных классов.

Аналогичным образом может возникнуть необходимость определить как прямое произведение различных соответствующих различным индексам классов образующих а. Для числовых признаков, не имеющих наиболее предпочтительной точки отсчета, как, например, при измерении местоположения, в качестве может быть принята группа переносов. Для других случаев с приоритетными точками отсчета, например при измерениях размера, вышеупомянутые изменения масштаба могут образовать естественное множество

Весьма близок описанному

Случай 1.3.2. Логические признаки: опорное пространство образующая имеет идентификатор и принимает значения 0 или 1. Преобразования подобия включают тождество и операцию .

Определение 1.3.2. Если образующие являются подмножествами опорного пространства X, то они называются образующими-множествами.

В этом случае преобразования подобия очевидным образом расширяются от X к посредством поточечного применения.

Случай 1.3.3 (выпуклые множества). Пусть семейство всех выпуклых кножеств в пространстве -евклидова группа в -мерном пространстве.

Как мы убедимся ниже, такие образующие естественно относить ко второму уровню иерархии, а образующими первого уровня служат полуплоскости (см. разд. 3.5).

Случай 1.3.4 (сферы). Пусть состоит из сфер с произвольным центром и радиусом причем всякий Преобразования подобия заключаются в применении к сфере

Случай 1.3.5 (планиметрия). В данном случае и

включает (2) и равномерные изменения масштаба.

Случай 1.3.6 (признаки). Рассмотрим опорное пространство X и семейство ложный, Т — истинный. Подмножество вида

называется образующей-признаком. Полагаем, что состоит только из тождества и дополнения. Характер будет, естественно, зависеть от приложений и изменяться от одного случая к другому.

Случай 1.3.7 (мозаики). Пусть . Рассмотрим его разбиение на множества такие, что все конгруэнтны по модулю заданной дискретной группы переноса. Эта группа выполняет роль S.

Рис. 1.3.1.

Соответствующий пример приведен на рис. 1.3.1, где группа переносов образована переносами целые числа. Образующими являются изображенные на этом рисунке параллелограммы.

Случай 1.3.8 (объекты, находящиеся в некоторой внешней среде). Рассмотрим в множество объектов Эти объекты задаются при помощи указания их формы, местонахождения и ориентации. Некоторые формы составляют класс образующих. В качестве других признаков могут рассматриваться цвет, запах, текстура. Естественными преобразованиями подобия снова являются преобразования, составляющие

Случай 1.3.9 (дуги). Пусть совокупность аналитических дуг в Каждая дуга описывается уравнением кривизна, а длииа дуги. Множество аналитических функций задано, и дуга если имеется ее уравнение на некотором отрезке Общая длина дуги является еще одним признаком образующей такого типа.

Случай 1.3.10 (стрелки). Пусть упорядоченная пара в некотором топологическом пространстве X, рассматриваемая как стрелка, проведенная из Пусть состоит из топологических отображений X на себя и расширенное определение имеет вид

Очевидно, что точечные образующие являются частным случаем образующих-множеств, если точку в X отождествить с подмножеством, содержащим только эту точку.

Теперь мы переходим к рассмотрению того типа образующих, который встречается чаще всего.

Определение 1.3.3. Пусть образующие состоят из отображений опорного пространства X в сопоставленное пространство . В этом случае мы говорим об образующих-соответствиях или образующих-функциях.

В частности, мы будем говорить о линейных (часто временных), плоскостных или пространственных образующих в тех случаях, когда X является действительной прямой, плоскостью или трехмерным евклидовым пространством соответственно.

Если отображение группа преобразований подобия, мы будем определять с помощью отображения

Если образующая-соответствие определена только на подмножестве то мы будем определять имея в виду сужение функции на множество

Случай 1.3.11 (уровень зачерненности). Если -положительная действительная прймая или ее подмножество, то образующие-соответствия можно рассматривать как полутоновые изображения.

Случай 1.3.12 (цветные изображения). Если положительный октант то соответствующие образующие-соответствия можно рассматривать как трехцветные изображения, причем каждая координата указывает интенсивность красного, зеленого и синего цветов соответственно.

Случай 1.3.13 (ортогональные образующие). Пусть мера на Мы говорим об ортогональных образующих, если где ортогональные относительно функции в геометрии

Случай 1.3.14 (сигналы). Пусть — действительные прямые и заданное множество действительных функций на удовлетворяющих условию где заданный линейный дифференциальный оператор, который не содержит всех значениях индекса образующей группа переносов на

Модификация последнего случая приводит к появлению нового элемента, который, как мы увидим, играет решающую роль при синтезе конфигураций.

Случай 1.3.15 (суженный класс сигналов). То же самое, что и в предыдущем случае, за исключением того, что рассматривается сужение решения на некоторый интервал Этот интервал не фиксируется и может изменяться в соответствии с характером образующей, так что значения а и являются признаками

Более общим вариантом случая 1.3.15 является многомерный.

Случай 1.3.16 (суженный класс образующих-соответствий). Пусть в опорном пространстве непрерывные действительные функции определены на замкнутых подмножествах, принадлежащих к семейству множеств, замкнутому относительно переносов в Эти переносы образуют также группу подобия на

Теперь мы обратимся к более специальному случаю, который также будет расширен и обобщен.

Случай 1.3.17 (арифметические операторы). Пусть действительная прямая и всякая функция, определенная на некотором подмножестве и принимающая, значения из некоторого подмножества

Как и прежде, мы считаем, что являются частями образующей.

В качестве более общего многомерного аналога вводим в рассмотрение

Случай 1.3.18 (универсальные операторы). Всякая образующая есть оператор с (переменными) входами (переменными) выходами Область значений всякого есть некоторое пространство область значений всякого некоторое пространство . В частности, существуют операторы назначения, не имеющие входов (однако обычно обладающие некоторыми признаками). Преобразования подобия воздействуют только на операторы назначения, оставляя все остальные образующие без изменения. В результате реализации этих преобразований признаки оператора назначения обычно изменяются, однако мы потребуем, чтобы а изменялся, а области — не увеличивались.

Мы будем снова и снова обращаться к этому случаю в связи с его исключительной пластичностью. Отметим его следующий частный вариант.

Случай 1.3.19 (операторы со случайными переменными). Этот случай полностью соответствует случаю 1.3.18, за исключением того, что определены как множества случайных переменных.

Позже нам встретится еще один частный случай:

Случай 1.3.20 (проекции). Пусть -сепарабельное действительное гильбертово пространство Н, и пусть образующие являются кратными операторов проектирования где Р, появляющиеся в двух образующих, либо равны, либо ортогональны. Полугруппа преобразований подобия формируется из умножений на (действительные) скалярные величины. Классы образующих определяются в терминах пропорциональности Р.

Образующие-множества являются частными случаями образующих-функций, если подмножества определяются в терминах своих индикаторных функций.

Эти три типа образующих не исчерпывают всех возможных случаев, которые мы будем изучать. Отметим только один дополнительный пример, который будет представлять для нас интерес.

Случай 1.3.21 (меры в качестве образующих). Рассмотрим в топологическом векторном пространстве X некоторую -алгебру борелевских подмножеств X и совокупность мер, определенных на Пусть множество операций на мере индуцированное переносами

Пусть состоит из образующих-соответствий, т. е. функция, определенная на некотором подмножестве опорного пространства X, и пусть в данном случае группа. Естественно, семейство областей должно быть замкнуто относительно Пусть В является -инвариантным подмножеством X, пусть связи определяются через и показатели связей могут быть однозначно определены при известных значениях для . Другими словами, если две образующие имеют одну и ту же область определения, то их показатели связей одинаковы, когда обе функции совпадают на тех точках В, где они определены.

Определим теперь новое множество образующих, введя -инвариантное подмножество и положив, что новые образующие есть функции, определяемые на подмножествах Точнее, для всякого мы определяем новую образующую как сужение на причем структура связей остается прежней.

Если и отображаются в то мы должны получить откуда следует .

Итак, обладают не только одними и теми же связями, но и одинаковыми показателями связей. Из построения следует, что они обладают одинаковой структурой связей, и так как, будучи функциями, определенными на они равны, то они представляют один и тот же элемент в Следовательно, однозначно определено и оставляет неизменными связи в как определено в является однозначно определенной и представляет собой вполне дозволенную группу преобразований подобия.

Отсюда следует, что отображение сохраняет структуру связей и т. е. это отображение является инвариантом связей.

В последующих главах частные случаи этой конструкции будут встречаться нам в различных формах.