3.7. Пространственно-временные образы. Движение и поведение

Многие алгебры изображений, изученные в предыдущих разделах, естественным образом могут быть обобщены на случай пространств с размерностью больше чем 3. Однако существует один важный класс алгебр изображений в четырехмерном пространстве, заслуживающий особого рассмотрения, а именно пространственно-временные образы.

В этом случае опорное пространство где пространство времени. Эти образы играют особую роль среди многомерных образов благодаря тому, что время направлено. Это повлияет ниже на выбор отношений связи.

В этом разделе будут изучены те пространственно-временные образы, которые описывают движения. Мы также вкратце упомянем поведенческие образы, которые могут быть рассмотрены как движение в пространстве более общего вида, чем

Другая важная совокупность пространственно-временных образов появляется при исследовании роста и распада. Она будет обсуждаться в разд. 3.8. Образующие, используемые при построении конфигураций движения, будут иметь следующие свойства. Как число входящих, так и число исходящих связей образующих не ограничено и показатели всех внутренних связей конкретной образующей равны некоторому действительному числу Аналогично все показатели внешних связей равны некоторому действительному числу Роль индекса а образующей заключается в разделении движений на различные Типы, и будем называть репертуаром движений. Если два

пространства образующих построены одинаково, за исключением того, что одно из них исходит из множества образующих а другое — из причем то будем говорить, что второе пространство обладает большей общностью. Второе пространство конфигураций будет иметь и более сложную структуру (см. разд. 2.1).

Преобразования подобия будут включать в себя сдвиги по времени Воздействие на показатели связей образующих будет сводиться к тому, что они примут значения Иногда будут использоваться также некоторые пространственные преобразования, но они не повлияют на показатели связей. Как правило, классы образующих должны быть -инвариантными.

Когда элементарные движения комбинируются вместе, необходимо проследить, чтобы они выполнялись в правильном порядке. Это приводит нас к типу соединения 2 — «частичный порядок», и все стрелки в а должны иметь единое направление.

По той же причине будем считать, что отношение связей истинно тогда и только тогда, когда стрелка направлена от прежде чем перейти к следующему, необходимо закончить предыдущее. Отметим, что такое отношение связей, как всегда, -инвариантно (см. разд. 4.2).

Тем самым определяется и вместе с и 5 задается множество регулярных конфигураций

Чтобы получить алгебру изображений, мы должны выбрать правило идентификации и в данном случае мы располагаем большей свободой выбора. Рассмотрим 3 правила.

Если — две регулярные пространственно-временные конфигурации, то каждая из них определяет полное движение: объект в переводится из одного состояния в другое. Мы скажем, что с если с и с имеют одни и те же внешние связи и индуцируют одно и то же полное движение среды. Это не означает, что два таких движения идентичны, а только то, что их полные результаты одинаковы.

С другой стороны, если имеют одинаковые внешние связи и показатели связей и представляют повсюду одно и то же движение, то будем говорить, что

Наконец, если то мы записываем тривиальное правило идентификации по равенству конфигураций (см. разд. 5.1). Эти правила удовлетворяют определению 3.1.1 и задают три алгебры изображений . Очевидно, что и имеют место соответствующие гомоморфизмы из теоремы 3.1.3 (ii).

Для изучения более сложных и часто встречающихся пространственно-временных конфигураций удобно ввести макрообразующие (см. разд. 4.2).

Прежде чем рассмотреть некоторые конкретные реализации введенных выше правил, укажем, что установление способа, по которому пространственно-временные изображения при заданном начальном пространстве изображений переводятся в пространственные изображения, как правило, представляет важный вопрос. Иными словами, мы смотрим на изображения движений как на процессоры образов пространственных изображений. Мы не будем детально рассматривать общие процессоры образов, пока не дойдем до части IV (см. приложение); здесь же мы будем иметь дело с весьма частным случаем. Можно поставить следующий вопрос: если заданы как начальное, так и конечное пространства изображений, то какие образы движений индуцируют переход от одного к другому? Обычно ответ на этот вопрос неоднозначен, и можно лишь попытаться найти наиболее «экономичное» изображение среди возможных изображений данного класса.

Резюмируя сказанное, мы исходим из определенного репертуара движений, комбинируем их и выявляем реакцию среды. Это зависит как от свойств среды, так и от применяемых средств. Это могут быть просто руки оператора или сложные механические устройства.

Случай 3.7.1. (образы движений). Приняв в качестве образующих движения, будем строить пространственные конфигурации, причем 2 — «частичный порядок» и совпадает с Тогда регулярные конфигурации идентифицируются по модулю , что определяет алгебру изображений.

Теперь мы готовы к рассмотрению конкретного случая, когда образующими являются элементарные движения руки. Если имеется в виду один оператор (человек), использующий обе руки, то образующими будут движения его рук с указанием индексов или соответствующих левой и правой руке.

Инициатор изучения движений Ф. Б. Джилбрет определил совокупность таких движений руки, названных им терблигами, и его определениями с той или иной модификацией до сих пор пользуются.

В таблице 3.7.1. приведен список используемых символов вместе с соответствующими определениями. Символы можно записывать в два ряда для описания одновременного движения обеих рук, при этом можно задавать моменты времени. Это как раз тот вид конфигураций движений, который упоминался нами выше. В рамках принятого нами формализма диаграмма движений может соответствовать, например, рис. 3.7.1, где обозначает особую образующую, и все показатели связей равны между собой. Ее роль состоит в синхронизации событий в определенные моменты времени. Все

Таблица 3.7.1 (см. скан)

образующие имеют связи, но, чтобы не нагромождать рисунок, их показатели не приведены.

Очевидно, такие конфигурации характеризуются не только тем, что можно использовать их при описании движений руки. Важно то, что они являются комбинациями некоторых основных действий, соединяемых вместе в установленном порядке с соответствующими временными ограничениями. Конфигурации подобного типа встречаются и при анализе производственных процессов. Для задания основных действий было предложено много систем. Одна из них использует пять символов, приведенных в табл. 3.7.2. Образующие группируются в указанных пяти классах, однако они могут обладать многочисленными признаками, идентификаторами, мерами и т. д.

В качестве примера рассмотрим рис. 3.7.2, который описывает процесс ремонта тормозных колодок. Его структура совпадает со структурой, ранее рассмотренной нами, если не считать

того, что моменты времени на этот раз явно не указаны. Рассмотрим операции 27—28—29, которые повторяются еще 14 раз. В используемом нами типе соединения такие циклы не допускались; вместо этого мы должны были вводить макрообразующую цикла. Конечно, это лишь вопрос удобства.

Диаграммы PERT (Planning Evaluation, Review Technique), применяемые в методах планирования, оценки и проверки, также имеют эту форму, но пространство, в котором описываются соответствующие операции, может оказаться более общим, чем .

Рис 3.7.1.

На рис. 3.7.3 приведена небольшая диаграмма PERT, в которой признаки соответствуют продолжительности операции так что показатели связей удовлетворяют уравнению Значение может быть фиксированным числом или случайной величиной. Благодаря тому что тип соединения является частичным порядком и учитывая роль можно утверждать, что любое действие может быть начато лишь тогда, когда все предыдущие действия завершены.

Задача определения наименьшего полного времени по диаграмме PERT, когда действия «упаковываются» как можно более плотным образом, чтобы устранить потери времени, достаточно известна. На рисунке полные затраты времени можно выразить как

но в практических случаях приходится иметь дело с намного более сложными выражениями, включающими в себя операции и сложения. Если — случайные величины, то анализ таких выражений не прост, и мы вернемся к этому вопросу в гл. 14 части III (см. приложение).

(кликните для просмотра скана)

Таблица 3.7.2 (см. скан)

Эффект движений или действий более общего характера зависит от применяемых средств и от свойств материалов, к которым эти средства применяются.

Рис. 3.7.3.

В предыдущих случаях результаты были довольно очевидными, однако если механизмы и материалы являются более сложными, то необходимо более подробное обсуждение результирующих образов. Мы рассмотрим 2 таких случая, первым из которых является переплетение нитей в ткани. Наиболее общий процесс переплетения нитей в ткани реализуется на ткацком станке, состоящем из пяти основных частей:

1. Катушка, на которую наматывается основа ткани.

2. Ремизы, через которые проходит основа ткани. Каждая рамка ремиза может быть поднята (или опущена), чтобы пропустить наполняющую нить над (или под) основой.

3. Челнок, ведущий наполняющую нить. Челнок продвигается из стороны в сторону. Наполнитель также называется утком.

4. Бёрдо, напоминающее большую чесалку. Вся основа ткани проходит через него, его функция заключается в проталкивании или закреплении наполняющей нити в уже сотканной материи.

5. Катушка, на которую принимается готовая ткань.

Чтобы формально выразить образы движений при переплетении нитей в ткани, будем считать образующими основные движения, разбитые на 2 класса: Здесь

где обозначает движение, представляющее поднятие рамы ремиза, а соответствует продвижению челнока с наполняющей нитью.

Пусть обозначает совокупность короблений нитей основы: рассмотрим разбиение

на непересекающиеся подмножества. Конфигурации, состоящие из формируют образы ткани, и мы кратко изучим наиболее общие из них. Структуры будут черно-белыми, но при желании можно рассматривать цветные рисунки, варьируя цвет, размеры и текстуру различных нитей в основе и наполнителе. Эти параметры могут выступать в роли признаков образующих. Пусть нить основы относится к типу

Образы движений порождают плоские образы ткани. Чтобы их идентифицировать, будем применять правило идентификации, которое основано лишь на значении сорта нити, видимой на каждом из пересечений основы с наполнителем. При этом мы пренебрегаем некоторыми свойствами результирующей ткани, но сохраняем всю существенную комбинаторную информацию.

Если имеется лишь 2 ремиза, и один наполнитель то можно получить простой образ ткани путем периодического повторения конфигурации движения, приведенной на рис. 3.7.4. Нити основы проходят через ремизы 1 и 2 в перемежающемся порядке. При этом образы движений формируют плоский образ, показанный на рисунке.

Простой разновидностью этого образа является рогожка, пример которой показан на рис. 3.7.5. Наполнитель состоит из двух нитей, и плоский образ, порождаемый образом движения, имеет типичный вид шахматной доски.

Твиловые ткани, требующие по крайней мере 3 ремиза, иллюстрируются на рис. 3.7.6. В данном случае показан трехвальный твил, и полученный плоский образ имеет диагонали, типичные

(кликните для просмотра скана)

Рис. 3.7.7.

для твила. Можно получить более сложные формы, варьируя диагональ посредством изменений в основе.

Одна из таких вариаций показана на рис. 3.7.7. В ней используется 4 ремиза, в которых порядок нитей основы устанавливается разностями так, что, отправляясь от нити 1, мы получаем

Пространственно-временная конфигурация имеет цикл, как это показано на рисунке, причем ремизы чередуются прибавлением 1 по модулю 4. На рисунке этим движениям соответствуют образы в виде «ёлочки».

Наконец, для сатина необходимы по крайней мере 5 ремизов, поскольку при меньшем их числе мы получим лишь твидовые образы. Пример атласа с пятью валами приведен на рис. 3.7.8, где порядок нитей основы задается разностями так, что, отправляясь от нити 1, мы получаем для первой ремизы и т. д. Временная последовательность для ремизов задается прибавлением 3 по модулю 5. Результат будет зависеть от того, что будет преобладать — основа или уток.

Полученный плоский образ является пятивальным сатином. Отметим, что данная структура типична для атласа, она имеет тенденцию отражать свет и придает блеск поверхности ткани.

Более формально, если рассматривать движения как изображения на пространственно-временном фоне, то в момент имеем

когда ремиза поднята, после чего движется челнок с утком Значениями являются натуральные числа, но значения составляют подмножества Пусть координатная ось, пересекающая основу, а у — другая координатная ось, перпендикулярная ей. Целые значения х и у (здесь используются только такие значения) соответствуют пересечениям основы и утка. Если отождествить то пространственно-временное изображение, задаваемое (3.7.4), производит пространственное (или, скорее, плоское) изображение

Если показывается х-нить основы со значением то это означает, что она поднята ремизой, через которую она продевается. В противном случае показывается уток Следовательно,

или

где фигурные скобки обозначают индикаторную функцию выражения, заключенного в них.

Соотношение (3.7.6) преобразует изображение движения в плоское изображение и носит название морфо-генетического уравнения. Если мы отбросим фигурные скобки и изменим лёвую часть, заменяя на то получим плоское изображение на обратной стороне ткани.

В случае ткани морфогенетическое уравнение оказывается довольнопростым, однако когда рассматривается аналогичное уравнение для других комбинаций средств и материала, то возникают более сложные уравнения, управляющие синтезом образов. Значительный интерес представляет случай, когда при помощи вращения тела деформируемого материала создается форма, например в гончарном деле или при выдувании стекла.

Пусть ось совпадает с осью вращения, рассмотрим тела с осевой симметрией, начальной формой которых является цилиндр радиуса и, скажем, высоты (см. Рис. 3.7.9). По мере того как время увеличивается, начиная с

форма может изменяться при условии сохранения осевой симметрии. Пусть на высоте в момент времени пусть далее

Для упрощения анализа производных в качестве множества значений примем Т, что предполагает периодичность -функций, и период равен 1.

Рис. 3.7.8.

Форма зависит от применяемых средств, репертуара основных движений и свойств материала. Материал предполагается упругим или упругим с внутренним трением и почти (но не полностью) несжимаемым Предположим, что морфогенетическое уравнение имеет вид

где левая часть соответствует внутреннему трению. В правой части первый член отвечает свойству упругости материала с коэффициентом пропорциональности который будем считать равным 1. Это равносильно выбору единицы длины. Второй член это плотность силы, приложенной в точке в момент времени Третий член отражает почти полную несжимаемость материала, где с — большое положительное число.

Мы не утверждаем, что уравнение (3.7.7) основано на правильных физических принципах. То, что из него следует, можно было бы рассматривать как предварительную попытку хотя бы в принципе представить синтез образов в данном контексте. Конечно, можно попытаться заменить (3.7.7) более реалистичным уравнением.

Следует отметить, что сила инерции и центробежная сила не были включены в левую часть уравнения (3.7.7). Видимо, это не столь серьезное упущение. Более сомнительным кажется вид упругой силы и, даже еще больше, член, выражающий несжимаемость материала, который имеет довольно искусственный вид.

Во всяком случае, это уравнение не является неразумным и может служить отправным моментом для синтеза образов: от движения к форме. Предполагается, что образующие, описывающие способ применения средств сначала в одной позиции, затем в другой позиции и т. д., выражают плотность силы в виде

где А — комплексная константа, а — целое число. Совокупность ограничена, так что чем больше а, тем более универсальна операция.

Рис. 3.7.9.

Заданная образующая включает в себя два значения времени, внутренний и внешний показатели связей соответственно Среднее значение квадрата

указывает величину усилий, затраченных за единицу времени.

Образующие применяются последовательно в соответствии с 2 — «линейный» и таким же выбором как и прежде. Заметим, что они не охватывают подпространство поскольку мы не складываем образующие, а лишь сцепляем Друг с другом. Однако каждый класс замкнут относительно сдвигов по времени и умножений на комплексные скаляры.

Мы изучили случай равномерно движущихся полей где -скорость. Однако выяснилось, что общность от этого не увеличивается, и поэтому мы изложим результаты Лишь для стационарных силовых полей, т. е. при

Нами рассмотрены лишь вышеупомянутые образующие. Представляет интерес исследование морфогенеза для других образующих, например для образующих вида — В в точке и равных 0 в остальных точках или для полей, линейно зависящих от

Рассмотрим конфигурацию на рис. 3.7.10, где комплексная амплитуда образующей, — индекс образующей. Вводя фундаментальное решение

уравнения теплопроводности на

где при можно записать

здесь

Константа а в (3.7.11) должна быть найдена из уравнения

Полученное выражение для у действительно является решением. Во-первых, очевидно, что если то из (3.7.12) получим . Во-вторых, непосредственное вычисление у по (3.7.12) с использованием свойств К показывает, что (3.7.7) удовлетворяется.

Рассмотрим конфигурацию движения с показателями связей, указанными на рис. 3.7.10.

Тогда можно выразить в виде

Здесь предполагается, что образующая в конфигурации имеет признак для амплитуды, а — ее индекс. Ее внутренний и внешний показатели связей равны соответственно. Отношение связей сводится к неравенству Два линейных оператора входящие в (3.7.14), относятся к уравнению (3.7.12).

Рис. 3.7.10.

Оператор преобразует пространственные функции. Другой оператор определяется при помощи соотношения

он преобразует пространственно-временные функции.

Мы можем применить (3.7.15), (3.7.16) для любой образующей и получим

Аналогично для при имеем

а при альтернативное выражение

Комбинирование этих выражений при дает полный вклад общего члена в (3.7.14):

здесь нами введена непрерывная и убывающая функция

причем Для частного случая имеем

где

Теперь можем получить более полное представление о том, как пространственно-временные образы приложения сил на различных участках и в различные моменты времени порождают пространственные образы. Если для некоторой конкретной образующей мало, то также окажется малым: затраченного времени было недостаточно для того, чтобы материал был обработан. С другой стороны, если имеет среднюю

величину, то эффект будет заметным, но обратно пропорциональным Иными словами, образующие со значительными пространственными изменениями приводят к меньшему эффекту, чем образующие с медленными пространственными изменениями.

Насколько трудно сформировать пространственный образ начиная от значения и до момента когда его значение также равно 0?

Для уточнения вопроса введем меру трудности путем задания нормы

Каково наименьшее значение по всем пространственно-временным образам Р, приводящим к у?

В рамках нашего атомистического подхода на каждый момент мы можем иметь лишь одну пространственную гармонику Гармоники резко изменяются в моменты, соответствующие показателям связей конечного числа образующих. Можно показать, что искомый минимум недостижим на так что мы должны искать

Обозначим через амплитуду 6-й пространственной гармоники, присутствующей в момент в Р-образе. Тогда

и коэффициентом 6-й пространственной гармоники в результирующем пространственном образе при будет (см. уравнение 3.7.20)

Аналогично

Другими словами, мы ищем в (3.7.25), когда значениями служат коэффициенты фурье-функции у. Обозначая производную через и применяя неравенство Шварца, получим оценку

где

аналогично

Следовательно,

так что

Тем самым завершено доказательство следующей теоремы:

Теорема 3.7.1. Точная нижняя грань для формирования окончательного пространственного образа задается при помощи (3.7.32), где первый член выражает нерегулярность пространственных образов, а второй член — полное изменение формы образа.

В качестве иллюстрации на рис. 3.7.11 показаны пространственно-временные образы, порожденные так же, как и выше, за тем исключением, что здесь используется образующая другого типа. Можно наблюдать, как материал последовательно подвергается изменению под воздействием приложенных сил.

Токарные, фрезерные и шлифовальные станки также могут быть рассмотрены с точки зрения синтеза образов. Здесь мы, однако, не будем этим заниматься и вместо этого перейдем к другим пространственно-временным образам, причем соответствующее пространство не обязательно совпадает с

Чтобы охарактеризовать поведение личности, группы или организации, нужно исходить из множества доступных действий. Под поведением понимается способ выбора и комбинирования действий в некоторой среде. Поэтому образы поведения имеют такую же структуру, как и образы, ранее изученные в этом разделе, но теперь образующими служат действия, и можно рассматривать в качестве пространства действий.

В качестве примера рассмотрим экономическое поведение, скажем, страховой компании. Этот пример выбран потому, что,

видимо, страхование представляет собой деятельность, в наибольшей степени поддающуюся логическому и количественному анализу. Это вовсе не означает, что страховые компании функционируют более рациональным и научным образом, чем другие компании; имеется в виду лишь то, что их деятельность поддается точному анализу.

Рис. 3.7.11. (см. скан)

Примером того, что мы имеем в виду, может служить традиционный и довольно неполный список возможных образующих, приведенный в табл. 3.7.3. Так же как и ранее, каждая образующая имеет 2 показателя связей для начала и окончания действия. К этому списку можно было бы добавить еще много других образующих.

Комбинируя образующие-действия так же, как и выше, мы получим конфигурации поведения. Поведение в истинном понимании возможно лишь тогда, когда конфигурации отвечают изменениям в экономической среде, которые влияют на администрацию компании при выборе действий. Однако даже это по-настоящему не «объясняет» поведение, а служит лишь его формальным описанием.

Более претенциозно выглядела бы попытка выразить выбор действий как результат немногих основных принципов. Иными словами, можно было бы рассматривать конфигурации в пространстве

Таблица 3.7.3 (см. скан)

стратегий, не обязательно фиксированных во времени, но желательно более простого вида, чем конфигурации действий.

В недавней работе Бомана (1971) был предпринят шаг в этом направлении. Он предложил три принципа: однородность, выгодность и платежеспособность.

В отдельных отраслях существуют группы правил с довольно однородной структурой риска. Проблема баланса возникает при попытке нахождения по крайней мере разумных отношений между страховыми премиями, расходами и исками, характерными для различных внутренне однородных групп.

Выгодность можно охарактеризовать как требование ежегодного прироста резервного фонда, как функции получаемого дохода и первоначальной величины фонда в данном году.

Платежеспособность можно формализовать требованием, чтобы наличные средства компании (в некотором точном смысле) были достаточны для удовлетворения исков, предъявляемых с определенной вероятностью в течение данного года. Это равносильно вычислению теоретического риска, исходя из вероятностей исков и их распределения по размерам.

Вопрос о возможной связи между конфигурациями действий в реальном мире и конфигурациями стратегий остается открытым Действительно, учет сложности, противоречивости и субъективности элементов реальной экономической среды сделал

бы такой анализ практически невозможным или бессмысленным. Тем не менее эта задача привлекает внимание математиков-прикладников.