§ 7. Дискретная случайная величина. Закон распределения дискретной случайной величины

Определение 1. Переменная величина принимающая в результате испытания одно из конечной или бесконечной последовательности значений называется дискретной случайной величиной, если каждому Значению соответствует определенная вероятность того, что переменная величина примет значение

Из определения следует, что каждому значению соответствует вероятность .

Функциональная зависимость вероятности от называется законом распределения вероятностей дискретной случайной величины х.

Так же закон распределения может быть задан графически в виде многоугольника распределения вероятностей, когда в прямоугольной системе координат строятся точки, с координатами и соединяются ломаной (рис. 409).

Закон распределения может быть задан и аналитически:

Рис. 409,

То, что случайная величина примет одно из значений последовательности есть событие достоверное, и потому должно выполняться условие

в случае конечной последовательности N значений, или

в случае бесконечной последовательности. Заметим, что значение случайной величины имеющее наибольшую вероятность,

называется модой. Случайная величина изображенная на рис. 409, имеет моду

Пример 1. Переменная величина х есть число очков, выпадающее на верхней грани игральной кости при ее однократном бросании. Переменная может принять одно из следующих значений: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Вероятность выпадения каждого значения есть, 1/6. Следовательно, таблица распределения этой случайной величины будет иметь вид

Пример 2. Вероятность появления события А при каждом из бесконечной последовательности испытаний равна р. Случайная величина номер испытания, при котором произошло первый раз событие А. Найти закон распределения случайной величины

Решение. Случайная величина может принимать любое целое положительное значение Вероятность того, что событие А произойдет при первом испытании, будет

Вероятность того, что событие не произойдет при первом испытании, а произойдет при втором, будет

Вероятность того, что событие А не произойдет ни при первом, ни при втором испытании, а произойдет при третьем, будет

и т. д.

Таблица распределения вероятностей будет

Здесь также имеем:

Задача о стрельбе до первого попадания. Рассмотренная задача имеет приложение, в частности, к вопросам стрельбы. Пусть производится стрельба до первого попадания. Вероятность попадания при каждом выстреле есть .

Случайная величина номер выстрела, при котором произошло первое попадание. Таблица распределения вероятностей этой случайной величины будет та же, что и в примере 2.

Пример 3. Вероятность попадания при каждом выстреле Имеется три снаряда. Определить вероятность того, что будет израсходован один снаряд, два снаряда, три снаряда, если стрельба ведется до первого попадания или промаха всеми тремя снарядами: составить таблицу распределения случайной величины х — числа израсходованных снарядов.

Решение. Пусть х — случайная величина: число израсходованных снарядов; - вероятность того, что будет израсходовано снарядов. Тогда равна вероятности попадания при одном (первом) выстреле.

- вероятность того, что при первом выстреле был промах, при втором выстреле — попадание.

так как всего три снаряда и стрельбу прекращают независимо от того, будет ли при третьем выстреле попадание или промах. Последнюю вероятность можно было вычислить и как разность

Таблица распределения будет иметь вид

Замечание. Данную задачу можно сформулировать в терминах «схемы урч», следовательно, она может иметь значение и при рассмотрении других вопросов. Это замечание относится и к некоторым другим задачам.