2.5. Взаимная корреляция, автокорреляция и свертка

Если и являются соответственно Т-периодическими продолжениями сигналов и то их взаимная корреляционная функция определяется как

(2.5.1)

где — временной сдвиг, непрерывно изменяющийся в интервале независимо от t. В общей теории гармонического анализа взаимокорреляционная функция представляет значительный интерес.

Прежде чем продолжить изложение, имеет смысл рассмотреть простой пример, который позволит графически проиллюстрировать смысл выражения (2.5.1). Допустим

(2.5.2)

и

(2.5.3)

Тогда соответствующие и имеют вид, показанный на рис. 2.6.

Рис. 2.6. Периодическое продолжение сигналов и

Из выражения (2.5.1) следует, что является также периодической функцией. Поэтому ее достаточно вычислить в одного периода. Теперь рассмотрим произведение и , где перемещается относительно по времени справа налево, как показано на рис. 2.7. Согласно рис. 2.7а и б соответственно имеем

и (2.5.4)

Рис. 2.7. Графическая интерпретация взаимной корреляции

На рис. 2.8 показана построенная в соответствии с выражением (2.5.4).

Из приведенных выше графических построений следует, что вычисление взаимной корреляции двух Т-периодических сигналов сводится к сдвигу одного сигнала относительно другого и соответственно усреднению их произведения за один период.

Рис. 2.8. Взаимная корреляция и

Теорема корреляции. Если и являются коэффициентами разложения в ряд Фурье соответственно сигналов и , то

(2.5.5)

где коэффициент разложения в ряд Фурье, а — величина комплексно-сопряженная с .

Доказательство достаточно простое. Согласно выражению (2.1.13) получаем

(2.5.6)

(2.5.7)

и (2.5.8)

где

(2.5.9)

(2.5.10)

и (2.5.11)

Подставляя (2.5.7) в (2.5.1), получаем

(2.5.12)

Согласно (2.5.9) выражение, заключенное в квадратные скобки в (2.5.12), представляет собой . Таким образом, выражение (2.5.12) можно записать как

(2.5.13)

Сравнивая между собой и (2.5.8), получаем

жение (2.5.5), а именно и . Если в выражение (2.5.1) вместо подставить функцию , то получим

(2.5.14)

где по определению представляет собой автокорреляционную функцию. Обозначив в выражении (2.5.5) и как получаем

(2.5.15)

Из выражений (2.5.14) и (2.5.15) следует, что выражение (2.5.8) можно записать в следующем виде:

(2.5.16)

При имеем

или

(2.5.17)

Нетрудно заметить, что формула (2.5.17) выражает теорему Парсеваля, доказательство которой было приведено выше [см. выражение (2.1.15)].

Свертка. Если и представляют собой Т-периодические продолжения соответственно двух сигналов и то свертка функций определяется следующим образом:

(2.5.18)

Отметим сходство функций и соответственно в выражениях (2.5.1) и (2.5.18). Как и в случае функции взаимной корреляции, легко дать графическую интерпретацию выражения (2.5.18). Допустим, что и заданы соответственно выражениями (2.5.2) и (2.5.3). Тогда соответствующие им функции и показаны на рис. 2.9. Необходимо отметить, что представляет собой зеркальное отображение . Так в выражении (2.5.18) является периодической функцией, то ее достаточно вычислить только в пределах одного периода.

Рис. 2.9. Периодические продолжения сигналов и

На рис. 2.10а и б показано произведение и -t), где смещается по оси времени относительно слева направо. Из рис. 2.10а и б соответственно следует, что

(2.5.19)

Рис. 2.10. Графическая интерпретация свертки

и

(2.5.20)

График функции определяемой выражениями (2.5.19) и (2.5.20) показан на рис. 2.11. Как следует из приведенных графических построений, процессы свертки и корреляции аналогичны друг другу, только в первом случае определяется корреляция зеркального отображения одной из функций или с другой.

Рис. 2.11. Свертка и

Теорема свертки. Если и являются коэффициентами ряда Фурье функций и определяемыми соответственно выражениями (2.5.6) и (2.5.7), то

(2.5.21)

где — коэффициенты разложения в ряд Фурье:

Так как доказательство этой теоремы аналогично доказательству теоремы корреляции, выраженной соотношением (2.5.5), то читателю предоставляется возможность выполнить его в качестве упражнения (задача 2.5).