6.5. ХАРАКТЕРИСТИКИ КАЧЕСТВА МП ОЦЕНИВАТЕЛЕЙ
Качество оценки параметра сигнала обычно измеряется
её смещением и дисперсией. Чтобы определить эти характеристики, предположим,
что мы имеем последовательность наблюдений
с ФПВ
, из которых извлекаем оценку
параметра
.
Смещение оценки
определяется
так:
(6.5.1)
где
- истинное значение параметра. Если
, мы говорим, что
оценка несмещённая. Дисперсия оценки
определяется так:
(6.5.2)
В общем
трудно вычислить. Однако хорошо
известным результатом в теории оценивания параметра (см. Хелстром, 1968)
является нижняя граница Крамера-Рао для среднеквадратической ошибки:
(6.5.3)
Заметим, что если оценка несмещённая, то числитель
в (6.5.3) равен единице, и граница (6.5.3) приводит к нижней границе для
дисперсии
оценки
, т.е.
(6.5.4)
Поскольку
отличается от логарифма отношения
правдоподобия постоянным множителем, не зависящим от
, то получим
(6.5.5)
Следовательно, нижняя граница для дисперсии равна
(6.5.6)
Эта нижняя граница – очень полезный результат. Она
даёт оценку близости при сравнении дисперсии практической оценки относительно
нижней границы. Несмещённая оценка, дисперсия которой достигает нижней границы,
называется эффективной.
В общем эффективные оценки являются редкими. Если
они существуют, то являются оценками максимального правдоподобия. Хорошо
известный результат из теории оценивания параметра – это то, что МП оценка
параметра асимптотически (при произвольно большом числе наблюдений) не смещена
и эффективна. В значительной степени эти желательные свойства определяют
важность МП оценки параметра. Также известно, что МП оценка имеет
асимптотически гауссовское распределение [со средним
и дисперсией, равной нижней
границе, определяемой (6,5.6)].
В случае МП оценок, описанных в этой главе для двух
сигнальных параметров, дисперсии в общем обратно пропорциональны отношению
сигнал-шум или, что эквивалентно, обратно пропорциональны мощности сигнала,
умноженной на интервал наблюдения
. Далее, дисперсии оценок, управляемых
решениями, при малых вероятностях ошибки в целом ниже, чем дисперсии оценок, не
управляемых решениями.
Фактически качество МП оценок, управляемых
решениями, для
и
достигает
нижней границы.
Следующие примеры относятся к расчёту нижней
границы Крамера-Рао для МП оценки фазы несущей.
Пример 6.5.1. МП оценка фазы
немодулированной несущей, как было показано в (6.2.11), удовлетворяет условию
(6.5.7)
где
(6.5.8)
Условие (6.5.7) получено при взятии производной
логарифма функции правдоподобия
(6.5.9)
Дисперсия
имеет нижнюю границу
(6.5.10)
Множитель
- это эквивалентная (односторонняя)
шумовая полоса идеального интегратора.
Из этого примера мы видим, что дисперсия МП оценки
фазы имеет нижнюю границу
(6.5.11)
где
- петлевое ОСШ. Это также
дисперсия, получаемая при оценке фазы несущей посредством ФЗП с оценкой,
управляемой решениями. Как мы уже видели, оценки, не управляемые решениями,
нельзя выполнить так хорошо из-за потерь в нелинейностях, требуемых для снятия
модуляции, например потерь из-за квадратирования или возведения в
-ю степень.
Похожие результаты можно получить для качества
оценок параметра задержки, рассмотренных выше. В дополнение к их зависимости от
ОСШ качество оценки параметра задержки является функцией от
огибающей сигнального импульса. Например, на практике обычно используется
импульс, имеющий спектр в виде приподнятого косинуса (см. разд. 9.2).
Для такого импульса среднеквадратическая ошибка
оценивания
параметра задержки как функция от ОСШ показана на рис. 6.5.1 для
оценок, управляемых и не управляемых решениями.
Отметим значительное улучшение качества оценки,
управляемой решениями, по сравнению с оценкой, не управляемой решениями.
Теперь, если меняется полоса частот импульса
, меняется огибающая импульса и,
следовательно, среднеквадратическая ошибка оценки параметра задержки также
меняется. Например, если меняется полоса частот импульса, который имеет спектр
в форме приподнятого косинуса, среднеквадратическая ошибка меняется так, как
показано на рис. 6.5.2. Заметим, что ошибка уменьшается по мере увеличения
полосы частот импульса.
В заключение мы представили метод МП оценки
сигнальных параметров и применили его для оценки фазы несущей и параметра
задержки символов. Мы также описали их характеристики качества.
Рис.6.5.1. Качество оценки параметра
задержки для фиксированного сигнала и фиксированной петлевой полосы.
Рис.6.5.2. Качество оценки параметра
задержки для фиксированного ОСШ и фиксированной петлевой полосы