10.1.2. Модель канала с МСИ с дискретным временем
При рассмотрении
ограниченных по полосе каналов с МСИ удобно разработать эквивалентную модель с
дискретным временем для аналоговой (с непрерывным временем) системы. Поскольку
передатчик посылает символы в дискретные моменты времени со скоростью
символов в
секунду, а стробированный выход согласованного фильтра приемника также является
сигналом дискретного времени с отчетами, возникающими со скоростью
, то следует, что
каскадное соединение аналогового фильтра передатчика с импульсной
характеристикой
,
канала с импульсной характеристикой
, согласованного фильтра в приемнике с
импульсной характеристикой
и стробирующего устройства можно
представить эквивалентным трансверсальным фильтром с дискретным временем,
имеющий набор коэффициентов усиления
. Следовательно, мы имеем
эквивалентный трансверсальный фильтр с дискретным временем, который покрывает
временной интервал
секунд. Его входом является
информационная последовательность символов
, а его выходом является
последовательность с дискретным временем
, определяемая (10.1.10).
Эквивалентная модель с дискретным временем дана на рис.10.1.2.
Рис. 10.1.2.
Эквивалентная модель дискретного времени для канала с МСИ
Основная трудность при
использовании этой модели с дискретным временем возникает при оценивании
качества различной техники выравнивания или техники оценивания, что обсуждается
в следующих разделах. Трудности обусловлены корреляцией отсчетов шумовой
последовательности
на выходе согласованного фильтра. Ряд
шумовых величин
образуют
последовательность с гауссовским распределением, с нулевым средним и
автокорреляционной функцией (смотри задачу 10.5)
. (10.1.13)
Таким образом, шумовая
последовательность коррелирована, если не выполняется условие
. Поскольку более
удобно иметь дело при расчёте такой характеристики качества как вероятность
ошибки с белой шумовой последовательностью, то желательно обелить шумовую
последовательность путём дальнейшей фильтрации последовательности
.
Обеляющий фильтр с
дискретным временем определяется следующим образом:
Пусть
обозначает (двухстороннее)
-преобразование
отсчетов автокорреляционной функции
, т.е.
. (10.1.14)
Поскольку
, следует
и
корней
имеют симметрию,
так что, если
корень,
то
тоже
корень. Следовательно,
можно факторизовать и выразить так
, (10.1.15)
где
- полином степени
, имеющий корни
, a
- полином степени
, имеющий корни
. Подходящий
обеляющий фильтр имеет
-преобразование
. Поскольку имеется
возможных способов
выбора корней
,
а каждый выбор ведет к фильтру, который одинаков по амплитудной характеристике
и различен по фазе по сравнению с другими выборами, то мы предлагаем выбрать
уникальное
,
имеющее минимальную фазу, т.е. полином, имеющий все свои корни внутри
единичного круга. Тогда все корни
лежат внутри единичной окружности (с
центром в начале координат), a
- физически реализуемый, устойчивый
фильтр с дискретным временем. Следовательно, пропуская последовательность
через цифровой
фильтр
получаем
выходную последовательность
, которую можно представить так
, (10.1.16)
где
- последовательность
отсчетов гауссовского белого шума с нулевым средним, а
- набор взвешивающих
коэффициентов в эквивалентном трансверсальном фильтре с дискретным временем,
имеющий передаточную функцию
(причём не
). В общем
последовательность
комплексная .
В совокупности каскадное
соединение фильтра передатчика
, канала
, согласованного фильтра
, стробирующего
устройства и фильтра для взвешивания шума с дискретным временем
можно представить
в виде эквивалентного трансверсального фильтра с дискретным временем, имеющего
набор взвешивающих коэффициентов
. Аддитивная шумовая
последовательность
, искажающая сигнал на выходе
трансверсального фильтра с дискретным временем, является белой гауссовской
шумовой последовательностью с нулевым средним и дисперсией
. Рис. 10.1.3 иллюстрирует
модель эквивалентной дискретной системы с белым шумом.
Мы будем ссылаться на эту
модель, как на эквивалентную модель с дискретным временем и белым шумом.
Пример 10.1.1. Допустим, что сигнальный
импульс передатчика
имеет длительность
и единичную
энергию, а принимаемый сигнальный импульс равен
.
Определим эквивалентную
модель с дискретным временем и белым шумом. Отсчеты автокорреляционной функции
определены так
(10.1.17)
Рис. 10.1.3.
Эквивалентная модель дискретного времени для канала с МСИ и АБГШ
Затем,
-преобразование
даёт
. (10.1.18)
Предполагая, что
, выберем
так, чтобы
эквивалентный трансверсальный фильтр состоял из двух ячеек, имеющих
коэффициенты усиления ячеек
. Заметим, что корреляционную
последовательность
можно выразить через
так
. (10.1.19)
Если канальный отклик
меняется медленно со временем, согласованный фильтр приемника становится
меняющимся во времени фильтром (с переменными параметрами). В этом случае
изменение во времени пары канал — согласованный фильтр приводит к фильтру с
дискретным временем с переменными во времени коэффициентами. Как следствие, мы
имеем эффект переменной во времени МСИ, которую можно моделировать фильтром,
показанным на рис.10.1.3, у которого коэффициенты медленно меняются во времени.
Линейная фильтровая
модель с дискретным временем и белым шумом для МСИ отражает то, что происходит
при высокоскоростной передаче по идеальному ограниченному по полосе каналу. Она
будет использоваться на протяжении всей этой главы при обсуждении техники
компенсации МСИ. В общем, методы компенсации называют техникой выравнивания
или алгоритмом выравнивания.