15.3.4. Характеристики качества детекторов
Вероятность
ошибки на бит является обычно желательной мерой качества в системах со многими
пользователями. Для расчета влияния интерференции многих пользователей на
качество детектора одного пользователя, мы можем использовать в качестве
исходной вероятность ошибки на бит для приёмника одного пользователя в
отсутствие других пользователей канала, равную
(15.3.51)
где
,
- энергия сигнала
на бит, а
-
спектральная плотность мощности АБГШ.
Для случая
оптимального детектора, как при синхронной, так и асинхронной передаче,
вероятность ошибки предельно рассчитать трудно. В этом случае мы можем
использовать (15.3.51), как нижнюю границу, а качество субоптимального
детектора как верхнюю границу.
Рассмотрим
сначала субоптимальный общепринятый детектор для одного пользователя. Для
синхронной передачи выход коррелятора для
-го пользователя определяется
(15.3.27). Следовательно вероятность ошибки для
-го пользователя, при условии наличия
последовательности символов
, от других пользователей равна
(15.3.52)
Затем средняя
вероятность ошибки
(15.3.53)
Вероятность
(15.3.53) в основном определяется слагаемым, которое наименьший аргумент
- функции.
Наименьший аргумент получается при ОСШ
(15.3.54)
Следовательно,
(15.3.55)
Аналогичный
подход можно использовать для получения границ вероятности ошибки при
асинхронной передаче. В случае детектора с декорреляцией, интерференция от
других пользователей в целом ограничена. Следовательно, вероятность ошибки
можно выразить так
, (15
3.56)
где
- дисперсия шума
для
-го
элемента оценки
.
Пример
15.3.1. Рассмотрим случай синхронной передачи двух пользователей, где
определяется
(15.3.41). Определим вероятность ошибки.
Сигнальная
компонента для первого слагаемого (15.3.4) равна
. Компонента шума равна
, где
- коэффициент
корреляции между двумя адресными сигналами. Дисперсия этого шума равна
(15.3.57)
и
(15.3.58)
Аналогичный
результат можно получить для качества второго пользователя. Таким образом
дисперсия шума увеличивается на множитель
. Это повышение шума является платой
за ограничение интерференции многих пользователей детектором с декорреляцией.
Вероятность
ошибки для МСКО детектора равна (или похожа) на ту, которая определяет детектор
с декорреляцией, когда уровень шума низок. Для примера, из (15.3.49) мы видим,
что когда
мала
относительно диагональных элементов матрицы корреляции сигналов
,
, (15.3.59)
что является
решением детектора с декорреляцией. Для малой интерференции других
пользователей МСКО детектор приводит к малому увеличению шума по сравнению с
детектором с декорреляцией, но имеет некоторое остаточное смещение, обусловленное
другими пользователями. Так МСКО детектор стремится достичь баланс между
остаточной интерференцией и увеличением шума.
Альтернативой
вероятности ошибки, как меры качества, используемой для характеристики системы
со многими пользователями, является ОСШ при наличии и отсутствии интерференции.
В частности, (15.3.51) дает вероятность ошибки для
-го пользователя при
отсутствии интерференции других пользователей. В этом случае ОСШ равно
. При наличии интерференции
других пользователей пользователь, который передает сигнал с энергией
, будет иметь
вероятность ошибки, превосходящей
. Эффективное ОСШ
определяются как ОСШ,
требуемые для заданной вероятности ошибки
(15.3.60)
Эффективность
определяется отношением
и представляет потерю качества,
обусловленную интерференцией других пользователей. Желательным мерилом
совершенства является асимптотическая эффективность, определяемая как
. (15.3.61)
Эту величину
часто легче сосчитать, чем вероятность ошибки.
Пример
15.3.2. Рассмотрим случай синхронной передачи символов от двух
пользователей с энергией сигналов
и
. Определим асимптотическую
эффективность общепринятого детектора.
В этом случае
вероятность ошибки легко найти из (15.3.52) и (15.3.53) как
Однако
асимптотическую эффективность можно рассчитать значительно легче. Она следует
из определения (15.3.61) и (15.3.52):
.
Аналогичное
выражение можно получить для
.
Асимптотическую
эффективность для оптимального и субоптимального детекторов, которые мы
описали, были рассчитаны Верду (1986), Лупасом и Верду (1989) и Хаем и др.
(1990). Рис.15.3.2 иллюстрирует асимптотическую эффективность этих детекторов,
когда
пользователя
передают информацию синхронно.
Рис.
15.3.2 Асимптотическая эффективность оптимального (Виберти) детектора, обычного
детектора, МСКО детектора и линейного МП детектора в синхронной системе DS/SSMA с 2 пользователями [Xie и др. (1990), @IEEE].
Эти графики
показывают, что когда интерференция мала
асимптотическая эффективность этих
детекторов относительно велика (близка к единице) и сопоставима. Когда
возрастает,
асимптотическая эффективность общепринятого детектора быстро ухудшается. Однако
остальные линейные детекторы работают относительно хорошо по сравнению с
оптимальным детектором. Схожие заключения достигнуты при вычислении вероятности
ошибки, но эти вычисления часто более утомительны.