15.3.4. Характеристики качества детекторов

Вероятность ошибки на бит является обычно желательной мерой качества в системах со многими пользователями. Для расчета влияния интерференции многих пользователей на качество детектора одного пользователя, мы можем использовать в качестве исходной вероятность ошибки на бит для приёмника одного пользователя в отсутствие других пользователей канала, равную

                                       (15.3.51)

где ,  - энергия сигнала на бит, а  - спектральная плотность мощности АБГШ.

Для случая оптимального детектора, как при синхронной, так и асинхронной передаче, вероятность ошибки предельно рассчитать трудно. В этом случае мы можем использовать (15.3.51), как нижнюю границу, а качество субоптимального детектора как верхнюю границу.

Рассмотрим сначала субоптимальный общепринятый детектор для одного пользователя. Для синхронной передачи выход коррелятора для -го пользователя определяется (15.3.27). Следовательно вероятность ошибки для -го пользователя, при условии наличия последовательности символов , от других пользователей равна

          (15.3.52)

Затем средняя вероятность ошибки

                             (15.3.53)

Вероятность (15.3.53) в основном определяется слагаемым, которое наименьший аргумент - функции. Наименьший аргумент получается при ОСШ

                         (15.3.54)

Следовательно,

    (15.3.55)

Аналогичный подход можно использовать для получения границ вероятности ошибки при асинхронной передаче. В случае детектора с декорреляцией, интерференция от других пользователей в целом ограничена. Следовательно, вероятность ошибки можно выразить так

,                                (15 3.56)

где  - дисперсия шума для -го элемента оценки .

Пример 15.3.1. Рассмотрим случай синхронной передачи двух пользователей, где  определяется (15.3.41). Определим вероятность ошибки.

Сигнальная компонента для первого слагаемого (15.3.4) равна . Компонента шума равна , где  - коэффициент корреляции между двумя адресными сигналами. Дисперсия этого шума равна

                     (15.3.57)

и

                            (15.3.58)

Аналогичный результат можно получить для качества второго пользователя. Таким образом дисперсия шума увеличивается на множитель . Это повышение шума является платой за ограничение интерференции многих пользователей детектором с декорреляцией.

Вероятность ошибки для МСКО детектора равна (или похожа) на ту, которая определяет детектор с декорреляцией, когда уровень шума низок. Для примера, из (15.3.49) мы видим, что когда  мала относительно диагональных элементов матрицы корреляции сигналов ,

,                                 (15.3.59)

что является решением детектора с декорреляцией. Для малой интерференции других пользователей МСКО детектор приводит к малому увеличению шума по сравнению с детектором с декорреляцией, но имеет некоторое остаточное смещение, обусловленное другими пользователями. Так МСКО детектор стремится достичь баланс между остаточной интерференцией и увеличением шума.

Альтернативой вероятности ошибки, как меры качества, используемой для характеристики системы со многими пользователями, является ОСШ при наличии и отсутствии интерференции. В частности, (15.3.51) дает вероятность ошибки для -го пользователя при отсутствии интерференции других пользователей. В этом случае ОСШ равно . При наличии интерференции других пользователей пользователь, который передает сигнал с энергией , будет иметь вероятность ошибки, превосходящей . Эффективное ОСШ  определяются как ОСШ, требуемые для заданной вероятности ошибки

                     (15.3.60)

Эффективность определяется отношением  и представляет потерю качества, обусловленную интерференцией других пользователей. Желательным мерилом совершенства является асимптотическая эффективность, определяемая как

.                               (15.3.61)

Эту величину часто легче сосчитать, чем вероятность ошибки.

Пример 15.3.2. Рассмотрим случай синхронной передачи символов от двух пользователей с энергией сигналов  и . Определим асимптотическую эффективность общепринятого детектора.

В этом случае вероятность ошибки легко найти из (15.3.52) и (15.3.53) как

Однако асимптотическую эффективность можно рассчитать значительно легче. Она следует из определения (15.3.61) и (15.3.52):

.

Аналогичное выражение можно получить для .

Асимптотическую эффективность для оптимального и субоптимального детекторов, которые мы описали, были рассчитаны Верду (1986), Лупасом и Верду (1989) и Хаем и др. (1990). Рис.15.3.2 иллюстрирует асимптотическую эффективность этих детекторов, когда  пользователя передают информацию синхронно.

Рис. 15.3.2 Асимптотическая эффективность оптимального (Виберти) детектора, обычного детектора, МСКО детектора и линейного МП детектора в синхронной системе DS/SSMA с 2 пользователями [Xie и др. (1990), @IEEE].

Эти графики показывают, что когда интерференция мала  асимптотическая эффективность этих детекторов относительно велика (близка к единице) и сопоставима. Когда  возрастает, асимптотическая эффективность общепринятого детектора быстро ухудшается. Однако остальные линейные детекторы работают относительно хорошо по сравнению с оптимальным детектором. Схожие заключения достигнуты при вычислении вероятности ошибки, но эти вычисления часто более утомительны.