14.1.1. Корреляционная функция канала и спектр мощности
Теперь рассмотрим
некоторые используемые корреляционные функции и спектральные плотности
мощности, которые определяют характеристики многопутевого канала с
замираниями. Нашей исходной точкой является эквивалентная низкочастотная
импульсная характеристика
, которая характеризуется как
комплексный случайный процесс по переменной
. Предположим, что процесс
стационарен в
широком смысле. Тогда мы определяем автокорреляционную функцию
так:
(14.1.10)
В большинстве сред, где
передается радиосигнал, ослабление и сдвиг фазы в канале, связанные с задержкой
в пути
некоррелированы
с ослаблением и сдвигом фазы, связанными с задержкой в пути
. Это обычно называется
некоррелированным рассеянием. Мы сделаем предположение, что рассеяния при двух
различных задержках некоррелированы, и учтем это в (14.1.10), чтобы получить
(14.1.11)
Если возьмем
, результирующая
автокорреляционная функция
- это просто средняя мощность выхода
канала как функция от задержки во времени
. Из этих соображений
называют интенсивностью
многопутевого профиля или спектром мощности задержек канала. В общем
определяет
среднюю мощность выхода канала как функцию от времени задержки
и разницы моментов
наблюдения
.
На практике функция
измеряется путем передачи по каналу
очень, короткого импульса и вычислением взаимной корреляции принимаемого
сигнала со своей собственной запаздывающей копией. Можно ожидать, что
измеренная функция
имеет типичный вид, показанный на
рис. 14.1.2. Область значений, в которой
существенно больше нуля, называют многопутевым
рассеянием канона и обозначают
.
Рис. 14.1.2. Профиль
многопутевой интенсивности
Полную характеристику
многопутевого переменного во времени канала можно определить и в частотной
области. Взяв преобразование Фурье от
, мы получаем переменную во
времени передаточную функцию
, где
- частотная переменная.
Итак,
(14.1.12)
В предположении, что
канал стационарен в широком смысле, мы определим автокорреляционную функцию
(14.1.13)
Поскольку
является преобразованием
Фурье от
,
то не является неожиданностью, что
связано с
преобразованием Фурье. Это соотношение
легко получить подстановкой (14.1.12) в (14.1.13)
(14.1.14)
где
. Из (14.1.14) мы видим, что
является
преобразованием Фурье от многопутевой интенсивности профиля. Далее, из
предположения, что рассеяние некоррелировано (по отдельным путям) следует, что
автокорреляционная функция от
по частоте зависит только от
разности частот
.
Следовательно, подобает называть
совместной корреляционной функцией
канала в частотной и временной области. На практике ее можно измерить путем
передачи по каналу двух синусоид с частотным разносом
и измерением взаимной
корреляции двух отдельно принимаемых сигналов с временной задержкой между ними
.
Предположим, что возьмём
в (14.1.14)
.
Тогда,
,
и
, связь
между ними упрощается:
(14.1.15)
Это соотношение
отображено графически на рис.14.1.3.
Рис. 14.1.3. Соотношение
между
и
Поскольку
является
автокорреляционной функцией по частотной переменной, она обеспечивает нам
возможность измерить частотную когерентность канала. Как следствие
преобразования Фурье между
и
, обратная величина многопутевого
рассеяния является мерой частотной когерентности канала.
Это значит, что
, (14.1.16)
где
означает полосу частотной
когерентности. Таким образом, две синусоиды с частотным разносом, большим
, ведут себя
различно в канале. Если
мало по сравнению с полосой частот
переданного сигнала, канал называют частотно селективным. В этом случае сигнал
существенно искажается в канале. С другой стороны, если
велика по сравнению с
полосой частот переданного сигнала, канал называют частотно неселективным.
Теперь сосредоточим наше
внимание на изменении канала во времени, измеряемом параметром
в
. Изменения во
времени характеристик канала свидетельствуют о доплеровском рассеянии и,
возможно, также о сдвиге спектральных линий. Чтобы выявить связь эффекта
Доплера и изменений во времени канала, определим преобразование Фурье от
по переменной
, чтобы получить
функцию
.
Т.е.
(14.1.17)
При
и из (14.1.17) следует
(14.1.18)
Функция
определяет
спектр мощности и дает интенсивность сигнала как функцию от частоты Доплера
. Поэтому
называют
доплеровский спектром мощности канала.
Из (14.1.18) мы видим,
что если канал не меняется во времени,
, и функция
становится равной
. Следовательно,
когда нет изменений канала во времени, не наблюдается спектральное расширение
при передаче чистого тона.
Область значений
, в которой
существенно
отлично от нуля, называют доплеровский рассеянием в канале
. Поскольку
связано с
преобразованием
Фурье, обратная величина
является мерой временной
когерентности канала, т.е.
(14.1.19)
где
называют временем
когерентности. Ясно, что канал с медленными изменениями имеет большую
временную когерентность или, что эквивалентно, малое Доплеровское рассеяние.
Рис.14.1.4 иллюстрирует соотношение между
и
Теперь мы установим
соотношение Фурье между
и
, включающих переменные
, и между
и
, включающих
переменные
.
Имеются два дополнительных преобразований Фурье, которые мы можем найти и
которые служат для связи
и
, и таким образом замыкается цепь.
Требуемое отношение можно получить, определив новую функцию, обозначаемую
, как
преобразование Фурье
по переменной
, т.е.
(14.1.20)
Отсюда следует, что
и
являются парой
преобразований Фурье. То есть
(14.1.21)
Рис. 14.1.4. Соотношение
между |
|
и
Далее,
и
связаны
двойным преобразованием Фурье
(14.1.22)
Эту новую функцию
называют функцией
рассеяния канала. Она определяет меру средней мощности на выходе канала,
как функцию времени задержки
и доплеровской частоты
.
Соотношения между
четырьмя функциями
,
,
и
подытожены рисунком 14.1.5.
Функция рассеяния
, измеренная на
тропосферной линии рассеяния протяженностью 150 миль, показана на рис. 14.1.6.
Сигнал, использованный для зондирования канала, имеет разрешение во времени 0,1
мкс. Поэтому ось для времени запаздывания проквантована с шагом 0,1 мкс. Из
рисунка мы видим, что многопутевое рассеяние равно
мкс. С другой стороны,
Доплеровское рассеяние, которое можно определить как полосу спектра мощности
для каждого пути сигнала на уровне 3 дБ, оказывается переменной для каждого
сигнального пути. Для примера, в одном пути оно меньше 1 Гц в то время как в
некоторых других путях оно составляет несколько герц. Для наших целей мы возьмем
наибольшее рассеяние по различным путям на уровне 3 дБ и назовем ее
доплеровский рассеянием.