4.1.4. Представление полосовых случайных процессов

Представление полосовых сигналов в разд. 4.1.1 касается детерминированных сигналов. В этом разделе рассмотрим представление полосовых стационарных случайных процессов. В частности, получим важные отношения между корреляционной функцией и спектральной плотностью мощности полосового сигнала и корреляционной функцией и спектральной плотностью мощности эквивалентного низкочастотного сигнала.

Предположим, что является реализацией стационарного в широком смысле случайного процесса с нулевым средним и спектральной плотностью мощности . Примем, что спектральная плотность мощности равна нулю вне интервала частот, группирующихся около частот , где частота несущей. Случайный процесс называется узкополосным полосовым случайным процессом, если ширина его полосы частот намного меньше . С учетом этого условия реализация процесса может быть представлена в одной из трех форм, данных в разд. 4.1.1, а именно

, (4.1.37)

, (4.1.38)

, (4.1.39)

где - огибающая, a - фаза вещественного сигнала, и - квадратурные компоненты , a - комплексная огибающая для .

Рассмотрим более подробно форму, определяемую (4.1.38). Сначала заметим, что если имеет нулевое среднее, то случайные квадратурные компоненты и должны также иметь нулевые средние. Далее, стационарность подразумевает, что автокорреляционные и взаимокорреляционные функции и обладают следующими свойствами:

, (4.1.40)

. (4.1.41)

Покажем, что эти два свойства следуют из стационарности . Автокорреляционная функция для равна

(4.1.42)

Используя соотношения

(4.1.43)

в (4.1.42), получаем результат

(4.1.44)

Поскольку - стационарный процесс, то правая часть (4.1.44) не должна зависеть от . Но это условие может быть выполнено только при условии выполнения (4.1.40) и (4.1.41). Как следствие, (4.1.44) сводится к

. (4.1.45)

Заметим, что соотношение между автокорреляционной функцией полосового процесса и корреляционной и взаимокорреляционной функциями и квадратурных компонент имеет форму (4.1.38), которая выражает полосовой процесс через квадратурные компоненты.

Автокорреляционная функция эквивалентного случайного низкочастотного процесса

(4.1.46)

определяется как

. (4.1.47)

Подставив (4.1.46) в (4.1.47) и выполнив соответствующие операции, получаем

. (4.1.48)

Теперь, если выполняются свойства (4.1.40) и (4.1.41), находим соотношение

, (4.1.49)

которое выражает автокорреляционную функцию комплексной огибающей через автокорреляционную и взаимокорреляционную функцию квадратурных компонент. В заключение, используя результаты (4.1.49) и (4.1.45), имеем

. (4.1.50)

Таким образом, автокорреляционная функция полосового случайного процесса однозначно определяется автокорреляционной функцией эквивалентного низкочастотного случайного процесса и частоты несущей . Спектральная плотность мощности случайного процесса определяется преобразованием Фурье . Имеем

, (4.1.51)

где - спектральная плотность мощности эквивалентного низкочастотного процесса . Поскольку автокорреляционная функция удовлетворяет условию , то следует, что является вещественной функцией частоты.

Свойства квадратурных компонент. Выше было показано, что взаимокорреляционная функция квадратурных компонент и полосового стационарного случайного процесса удовлетворяет условию симметрии (4.1.41). Далее, любая взаимокорреляционная функция удовлетворяет условию

. (4.1.52)

Из этих двух условий заключаем, что

. (4.1.53)

Это означает, что является нечётной функцией . Следовательно, и, значит, и не коррелированы при . Конечно, это не означает, что процессы и не коррелированы для всех , поскольку это бы означало, что для всех . Если в самом деле для всех , то является вещественной, и спектральная плотность мощности удовлетворяет условию

, (4.1.54)

и наоборот. Это означает, что симметрична относительно (четная функция частоты). В частном случае, когда стационарный случайный процесс гауссовский, квадратурные компоненты и совместно гауссовские. Более того, при они статистически независимы, и, следовательно, их совместная плотность вероятности

, (4.1.55)

где дисперсия определяется как .

Представление белого шума. Белый шум является случайным процессом, который имеет постоянную спектральную плотность в неограниченном диапазоне частот. Этот вид шума не может быть выражен через узкополосные квадратурные компоненты вследствие широкополосности процесса.

В вопросах, связанных с демодуляцией узкополосных сигналов на фоне шумов, математически удобно представить аддитивный шум как белый и выразить его через квадратурные компоненты. Это можно выполнить, предполагая, что сигнал и шум на приёмной стороне прошли через идеальный полосовой фильтр, имеющий полосу пропускания более широкую, чем полоса сигнала. Такой фильтр может внести пренебрежимо малые искажения в сигнал, но он исключает частотные компоненты шума вне полосы пропускания фильтра.

Белый шум, прошедший через идеальный полосовой фильтр, называют полосовым белым шумом, и он имеет спектральную плотность вида, показанного на рис. 4.1.3. Полосовой белый шум можно представить в любой из форм, выражаемых формулами (4.1.37), (4.1.38) и (4.1.39). Спектральная плотность мощности и автокорреляционная функция эквивалентного белого низкочастотного шума равны соответственно

(4.1.56)

. (4.1.57)

Предельная форма , когда полоса частот , выражается так:

. (4.1.58)

Рис. 4.1.3. Полосовой шум с равномерным спектром

Спектральная плотность мощности белого и полосового белого шума симметрична относительно , так что для всех . Следовательно,

. (4.1.59)

Это означает, что квадратурные компоненты и не коррелированы при всех временных сдвигах , а автокорреляционные функции , и одинаковы.