4.1.4. Представление полосовых случайных процессов
Представление
полосовых сигналов в разд. 4.1.1 касается детерминированных сигналов. В этом
разделе рассмотрим представление полосовых стационарных случайных процессов. В
частности, получим важные отношения между корреляционной функцией и
спектральной плотностью мощности полосового сигнала и корреляционной функцией и
спектральной плотностью мощности эквивалентного низкочастотного сигнала.
Предположим,
что 
является
реализацией стационарного в широком смысле случайного процесса 
с нулевым средним и
спектральной плотностью мощности 
. Примем, что спектральная плотность
мощности равна нулю вне интервала частот, группирующихся около частот 
, где 
частота
несущей. Случайный процесс называется узкополосным
полосовым случайным процессом, если ширина его полосы частот 
намного меньше . С учетом этого
условия реализация процесса может быть представлена в одной из
трех форм, данных в разд. 4.1.1, а именно
, (4.1.37)
, (4.1.38)
, (4.1.39)
где 
- огибающая, a 
- фаза вещественного сигнала, 
и 
- квадратурные компоненты
, a 
- комплексная
огибающая для .
Рассмотрим
более подробно форму, определяемую (4.1.38). Сначала заметим, что если имеет нулевое
среднее, то случайные квадратурные компоненты 
и 
должны также иметь нулевые средние.
Далее, стационарность подразумевает, что автокорреляционные
и взаимокорреляционные функции и обладают следующими свойствами:
, (4.1.40)
. (4.1.41)
Покажем,
что эти два свойства следуют из стационарности . Автокорреляционная функция 
для равна
(4.1.42)
Используя
соотношения
,
,
(4.1.43)
в (4.1.42), получаем результат
(4.1.44)
Поскольку - стационарный процесс, то правая
часть (4.1.44) не должна зависеть от 
. Но это условие может быть выполнено
только при условии выполнения (4.1.40) и (4.1.41). Как следствие, (4.1.44)
сводится к
. (4.1.45)
Заметим, что соотношение между автокорреляционной
функцией полосового
процесса и корреляционной и взаимокорреляционной функциями 
и 
квадратурных компонент имеет
форму (4.1.38), которая выражает полосовой процесс через квадратурные
компоненты.
Автокорреляционная функция эквивалентного случайного
низкочастотного процесса
(4.1.46)
определяется как
. (4.1.47)
Подставив (4.1.46) в (4.1.47) и выполнив
соответствующие операции, получаем
. (4.1.48)
Теперь, если выполняются свойства (4.1.40) и (4.1.41),
находим соотношение
, (4.1.49)
которое выражает автокорреляционную функцию
комплексной огибающей через автокорреляционную и взаимокорреляционную функцию
квадратурных компонент. В заключение, используя результаты (4.1.49) и (4.1.45),
имеем
. (4.1.50)
Таким образом, автокорреляционная функция полосового
случайного процесса однозначно определяется
автокорреляционной функцией 
эквивалентного низкочастотного
случайного процесса 
и частоты несущей . Спектральная плотность
мощности случайного
процесса определяется
преобразованием Фурье . Имеем
, (4.1.51)
где 
- спектральная плотность мощности
эквивалентного низкочастотного процесса . Поскольку автокорреляционная функция удовлетворяет
условию 
, то следует, что является вещественной функцией
частоты.
Свойства квадратурных компонент. Выше было показано, что взаимокорреляционная функция
квадратурных компонент и полосового стационарного случайного
процесса удовлетворяет
условию симметрии (4.1.41). Далее, любая взаимокорреляционная функция
удовлетворяет условию
. (4.1.52)
Из этих двух условий заключаем, что
. (4.1.53)
Это означает, что 
является нечётной функцией 
. Следовательно, 
и, значит, и не коррелированы
при 
.
Конечно, это не означает, что процессы и 
не коррелированы для всех , поскольку это бы
означало, что 
для
всех .
Если в самом деле для
всех , то является
вещественной, и спектральная плотность мощности удовлетворяет
условию
, (4.1.54)
и наоборот. Это означает, что симметрична относительно 
(четная функция
частоты). В частном случае, когда стационарный случайный процесс гауссовский,
квадратурные компоненты и совместно гауссовские. Более того, при
они
статистически независимы, и, следовательно, их совместная плотность вероятности
, (4.1.55)
где дисперсия 
определяется как 
.
Представление белого шума. Белый шум является случайным процессом, который имеет
постоянную спектральную плотность в неограниченном диапазоне частот. Этот вид
шума не может быть выражен через узкополосные квадратурные компоненты
вследствие широкополосности процесса.
В вопросах, связанных с демодуляцией узкополосных
сигналов на фоне шумов, математически удобно представить аддитивный шум как
белый и выразить его через квадратурные компоненты. Это можно выполнить,
предполагая, что сигнал и шум на приёмной стороне прошли через идеальный
полосовой фильтр, имеющий полосу пропускания более широкую, чем полоса сигнала.
Такой фильтр может внести пренебрежимо малые искажения в сигнал, но он
исключает частотные компоненты шума вне полосы пропускания фильтра.
Белый шум, прошедший через идеальный полосовой фильтр,
называют полосовым белым шумом, и он имеет спектральную плотность вида,
показанного на рис. 4.1.3. Полосовой белый шум можно представить в любой из
форм, выражаемых формулами (4.1.37), (4.1.38) и (4.1.39). Спектральная
плотность мощности и автокорреляционная функция эквивалентного белого
низкочастотного шума равны соответственно
(4.1.56)
. (4.1.57)
Предельная форма , когда полоса частот 
, выражается так:
. (4.1.58)
Рис. 4.1.3. Полосовой шум с равномерным спектром
Спектральная плотность мощности белого и полосового
белого шума симметрична относительно , так что 
для всех . Следовательно,
. (4.1.59)
Это означает, что квадратурные компоненты и не коррелированы
при всех временных сдвигах , а автокорреляционные функции , и одинаковы.
