ЗАДАЧИ
9.1. Говорят, что канал является неискажающим,
если отклик канала
на входное воздействия
равен
, где
и
константы.
Покажите, что если частотная характеристика канала равна
, где
и
вещественные, достаточными
и необходимыми условиями для неискажающей передачи являются условия
и
9.2. Спектральная характеристика приподнятого
косинуса даётся (9.2.26).
a) Покажите, что
соответствующая импульсная характеристика равна
.
b) Найдите преобразование Гильберта
от
, когда
.
c) Обладает ли
желательными свойствами сигнала
, которые делают
его подходящим для передачи данных? Объясните.
d) Определите огибающую
ОБП сигнала с подавленной несущей, если модулирующим сигналом является
.
9.3 а) Покажите что
(формула суммирования Пуассона)
.
Подсказка: Используйте
разложение в ряд Фурье периодического множителя
.
b) Используя результат а),
подтвердите следующие версии суммы Пуассона:
c) Получите условия
отсутствия МСИ (критерий Найквиста), используя формулу суммирования Пуассона.
9.4. Предположим, что
цифровая система связи использует гауссовскую форму огибающей сигнала вида
.
Чтобы снизить уровень МСИ
до относительно малой величины, мы навяжем условие, что
, где
- символьный интервал.
Полоса
для
импульса
определяется
как величина, при которой
, где
- преобразование Фурье от
. Определите
величину
и
сравните эту величину с полосой сигнала, принятого со спектром приподнятого
косинуса при
.
9.5. Ограниченный по
спектру сигнал с полосой
можно представить в виде
.
a) Определите спектр
и постройте
для следующих
случаев:
b) Нарисуйте
для этих двух случаев.
с) Если эти сигналы
используются для передачи двоичных сообщений в канале с АБГШ, определите число
возможных принимаемых уровней в моментах стробирования
и вероятность того, что
принятые уровни правильные. Предположите, что двоичные символы на передаче
равновероятны.
9.6. Полосовой канал с
полосой 4 кГц используется для передачи данных со скоростью 9600 бит/с. Если спектральная
плотность мощности аддитивного гауссовского шума с нулевым средним равна
Вт/Гц,
синтезируйте сигнал КАМ и определите среднюю мощность, при которой достигается вероятность
ошибки на бит
.
Используйте импульс сигнала со спектром приподнятого косинуса, если коэффициент
ската по крайней мере 50%
.
9.7. Определите битовую
скорость, которую можно передать через речевой телефонный канал с полосой 4
кГц, если используются следующие методы модуляции:
(а) двоичная AM; (b) четырехфазная ФМ; (с)
восьмиточечная КАМ; (d) двоичная ортогональная ЧМ с некогерентным детектированием;
(е) ортогональная четырехпозициокная ЧМ с некогерентным детектированием, (f) ортогональная
8-позиционная ЧМ с некогерентным детектированием. Для (а) - (с) предположите,
что огибающая передаваемого импульса имеет спектр приподнятого косинуса с 50 %
коэффициентом ската.
9.8. Идеальный речевой
полосовой телефонный линейный канал имеет частотную характеристику, охватывающую
частотную область 600-3000 Гц.
a) Синтезируйте
ФМ систему (квадратурную
или КФМ) для передачи данных со скоростью 2400 бит/с при несущей
Гц. Из спектральных
соображений используйте частотную характеристику приподнятого косинуса.
Нарисуйте блок-схему системы и опишите функциональные операции каждого блока.
b) Повторите (а) для битовой скорости
бит/с.
9.9. Телефонный канал для
передачи речи пропускает частоты в области от 300 до 3300 Гц. Желательно синтезировать
модем, который передает 2400 символов/с с целью достижения битовой скорости
9600 бит/с. Выберите подходящее сигнальное созвездие КАМ, частоту несущей и
коэффициент ската импульса со спектром приподнятого косинуса, который
использует всю полосу частот. Нарисуйте спектр передаваемого сигнального
импульса и укажите основной диапазон частот.
9.10. Система связи для канала
с речевой полосой (3 кГц) синтезируется для случая, когда ОСШ на приёме у
детектора равно 30 дБ в то время как мощность передатчика
дБВт. Определите величину
если желательно
расширить полосу системы до 10 кГц при сохранении того же ОСШ у детектора.
9.11. Покажите, что импульс,
имеющий спектр приподнятого косинуса, определяемый (9.2.26), удовлетворяет
критерию Найквиста (9.2.13) при любой величине коэффициента ската
.
9.12. Покажите, что при любой
величине
,
спектр приподнятого косинуса, определенный (9.2.26), удовлетворяет условию
.
Подсказка: используйте
факт, что
удовлетворяет
критерию Найквиста (9.2.13).
9.13. Критерий Найквиста
дает необходимые и достаточные условия для спектра
импульса
, который
обеспечивает нулевое МСИ. Докажите, что для любого импульса, ограниченного по
полосе
, условие
нулевой МСИ удовлетворяется, если
для
состоит из прямоугольной функции плюс
произвольной дополнительной функции около
, a
- произвольная чётная
функция около 
.
9.14. Телефонный канал с
речевой полосой пропускает частоты в полосе 300 Гц <
< 3000 Гц.
a) Выберите скорость
передачи символов и эффективный по мощности размер созвездия для достижения информационной
скорости передачи 9600 бит/с.
b) Если используется для
передаваемого импульса спектр, равный квадратному корню из спектра приподнятого
косинуса, выберите коэффициент ската. Предположите, что канал имеет идеальную
частотную характеристику.
9.15. Синтезируйте
-ичную систему AM, которая передает
цифровую информацию по идеальному каналу с полосой
Гц. Битовая скорость равна
14400 бит/с. Определите число передаваемых сигнальных точек, число принимаемых
сигнальных точек, используя дуобинарный сигнальный импульс, а также требуемую
энергию
для
достижения вероятности ошибки
. Аддитивный шум гауссовский, с нулевым
средним и спектральной плотностью мощности
Вт/Гц.
9.16. Двоичный AM сигнал генерируется
путем возбуждения фильтра с частотной характеристикой приподнятого косинуса с
коэффициентом ската 50 %, а затем образуется двухполосный AM сигнал без несущей, как
показано на рис. Р9.16. Битовая скорость 2400 бит/с.
a) Определите спектр
модулированного двоичного AM сигнала и нарисуйте его.
b) Начертите блок-схему
оптимального демодулятора-детектора для принимаемого сигнала, который равен
передаваемому сигналу плюс АБГШ.
Рис.Р9.16
9.17. Элементы
последовательности
являются независимыми двоичными,
случайными величинами, принимающие значения
с равной вероятностью. Эта
последовательность данных используется для модуляции базового импульса
, показанного на
рис. Р9.17(а). Модулированный сигнал
.
а) Найдите спектральную
плотность
.
b) Если вместо
используется
импульс
(см.
рис. 9.17 b),
как меняется спектр мощности из (а)?
Рис. Р9.17
c) Предположим, что в (b) мы желаем иметь
нуль в спектре на частоте
. Это делается посредством предкодера
в виде
.
Найдите
,
которое обеспечит желательный нуль.
d) Возможно ли использовать предварительное
кодирование в виде
для некоторых ограниченных
так, что
окончательный спектр мощности равен нулю для
? Если да, то как? Если нет, почему?
(Подсказка: используйте свойства аналитических функций).
9.18. Рассмотрите передачу данных посредством AM по речевому телефонному каналу, который
имеет полосу 3000 Гц. Покажите, как меняется скорость передачи символов, как
функция от излишка полосы. В частности, определите скорость передачи символов
при излишке полосы на 25 %, 33 %, 50 %, 67 %, 75 % и 100 %.
9.19. Двоичная последовательность 10010110010
является входом предкодера, выход которого используется для модуляции дуобинарного
передающего фильтра. Постройте таблицу, наподобие таблицы 9.2.1, показывающую
последовательность на выходе предкодера, уровни передаваемых амплитуд, уровни
принимаемых сигналов и декодированную последовательность.
9.20. Повторите задачу 9.19 для
модифицированного дуобинарного сигнального импульса.
9.21. Предкодер для сигнала с
парциальным откликом не в состоянии работать, если желательный парциальной
отклик при
равен
нулю по модулю
.
Например, рассмотрите желательный отклик для
:
Покажите, почему такой
отклик нельзя подвергнуть предварительному кодированию.
9.22. Рассмотрите
фильтр низких
частот, показанный на рис. Р9.22, где
.
Рис. Р9.22
a) Определите и нарисуйте
задержку огибающей (групповую задержку) фильтра, как функцию от частоты.
b) Предположите, что вход
фильтра - низкочастотный сигнал с полосой
кГц. Определите отклик
фильтра на этот
сигнал.
9.23. Микроволновый
радиоканал имеет частотную характеристику
.
Определите частотные
характеристики оптимального передающего и приёмного фильтров, которые дают
нулевое МСИ при скорости
символов/с при наличии 50 %
избыточной полосы. Предположите, что спектр аддитивного шума равномерный.
9.24. Четырехпозиционная AM используется для
передачи с битовой скоростью 9600 бит/с по каналу, имеющему частотную
характеристику
для
и
вне этой области частот.
Аддитивный шум является гауссовским, белым с нулевым средним и спектральной
плотностью мощности
Вт/Гц. Определите (амплитудные)
частотные характеристики оптимального фильтра на передаче и приёме.
9.25. Определите пропускную способность кода
(0,1) с ограниченным разбегом. Сравните эту пропускную способность с той же
характеристикой для кода
и объясните соотношения.
9.26. Троичный формат сигнала синтезируется для
канала, который не пропускает постоянную составляющую. Входная двоичная
информационная последовательность передается путём отображения 1 или в
положительный, или отрицательный импульс, а 0 передается отсутствием импульса.
Следовательно, для передачи 1 полярность импульса чередуется. Это называют AMI (alternate mark inversion) кодом. Определите пропускную способность
кода.
9.27. Дайте другое описание AMI кода, описанного в задаче 9.26, используя
набегающую сумму цифр (RDS) с
ограничением, что RDS может принимать только значения 0 и +1.
9.28. (Коды
,
), В задаче 9.26
обратите внимание, что AMI является «псевдотроичным» кодом, в котором для
передачи одного бита информации используется троичный символ, имеющий
информационную ёмкость
бит. Этот код не обеспечивает
необходимую форму спектра. Лучшую форму спектра даёт код, обозначаемый как
, где
означает
количество информационных бит, а
- число троичных символов на блок.
При выборе наибольшего возможного
для каждого
получается следующая
таблица:
|
|
код
|
1
3
4
6
|
1
2
3
4
|
1В1Т
ЗВ2Т
4ВЗТ
6В4Т
|
Определите эффективность
этих кодов путём вычисления отношения
. Заметьте, что 1B1T - это код AMI.
9.29. Эта задача имеет
дело с пропускной способностью двух
кодов.
а) Определите пропускную
способность
кода,
который имеет следующую матрицу переходов состояний
.
b) Повторите (а) для
.
с) Прокомментируйте разницу (а) и (b).
9.30. Простейшая модель телеграфного кода состоит
из двух символов (Блэйхут, 1990). Точка содержит элемент сигнала «1» и «0».
Тире состоит из трёх следующих без перерыва элементов «1» и одного элемента
«0».
Рассмотрите этот код как код, составленный нз
символов равной длительности.
Определите матрицу переходов состояний.
Определите информационную ёмкость кода.
9.31. Определите матрицу переходов состояний кода
с ограниченным разбегом, который описывается диаграммой состояний, показанной
на рис. Р9.31. Нарисуйте соответствующую решетку.
Рис. Р9.31
9.32. Определите матрицу
переходов состояний для кода (2,7) с ограниченным разбегом, удовлетворяющего
диаграмме состояний, показанной на рис. Р9.32.
Рис. Р9.32