ЗАДАЧИ

9.1. Говорят, что канал является неискажающим, если отклик канала  на входное воздействия  равен , где  и  константы. Покажите, что если частотная характеристика канала равна , где  и  вещественные, достаточными и необходимыми условиями для неискажающей передачи являются условия  и

9.2. Спектральная характеристика приподнятого косинуса даётся (9.2.26).

a) Покажите, что соответствующая импульсная характеристика равна

.

b) Найдите преобразование Гильберта  от , когда .

c) Обладает ли  желательными свойствами сигнала , которые делают его подходящим для передачи данных? Объясните.

d) Определите огибающую ОБП сигнала с подавленной несущей, если модулирующим сигналом является .

9.3 а) Покажите что (формула суммирования Пуассона)

.

Подсказка: Используйте разложение в ряд Фурье периодического множителя

.

b) Используя результат а), подтвердите следующие версии суммы Пуассона:

c) Получите условия отсутствия МСИ (критерий Найквиста), используя формулу суммирования Пуассона.

9.4. Предположим, что цифровая система связи использует гауссовскую форму огибающей сигнала вида

.

Чтобы снизить уровень МСИ до относительно малой величины, мы навяжем условие, что , где  - символьный интервал. Полоса  для импульса  определяется как величина, при которой , где  - преобразование Фурье от . Определите величину  и сравните эту величину с полосой сигнала, принятого со спектром приподнятого косинуса при .

9.5. Ограниченный по спектру сигнал с полосой  можно представить в виде

.

a) Определите спектр  и постройте  для следующих случаев:

b) Нарисуйте  для этих двух случаев.

с) Если эти сигналы используются для передачи двоичных сообщений в канале с АБГШ, определите число возможных принимаемых уровней в моментах стробирования  и вероятность того, что принятые уровни правильные. Предположите, что двоичные символы на передаче равновероятны.

9.6. Полосовой канал с полосой 4 кГц используется для передачи данных со скоростью 9600 бит/с. Если спектральная   плотность мощности аддитивного гауссовского шума с нулевым средним равна  Вт/Гц, синтезируйте сигнал КАМ и определите среднюю мощность, при которой достигается вероятность ошибки на бит . Используйте импульс сигнала со спектром приподнятого косинуса, если коэффициент ската по крайней мере 50% .

9.7. Определите битовую скорость, которую можно передать через речевой телефонный канал с полосой 4 кГц, если используются следующие методы модуляции:

(а) двоичная AM; (b) четырехфазная ФМ; (с) восьмиточечная КАМ; (d) двоичная ортогональная ЧМ с некогерентным детектированием; (е) ортогональная четырехпозициокная ЧМ с некогерентным детектированием, (f) ортогональная 8-позиционная ЧМ с некогерентным детектированием. Для (а) - (с) предположите, что огибающая передаваемого импульса имеет спектр приподнятого косинуса с 50 % коэффициентом ската.

9.8. Идеальный речевой полосовой телефонный линейный канал имеет частотную характеристику, охватывающую частотную область 600-3000 Гц.

a) Синтезируйте  ФМ систему (квадратурную или КФМ) для передачи данных со скоростью 2400 бит/с при несущей  Гц. Из спектральных соображений используйте частотную характеристику приподнятого косинуса. Нарисуйте блок-схему системы и опишите функциональные операции каждого блока.

b) Повторите (а) для битовой скорости  бит/с.

9.9. Телефонный канал для передачи речи пропускает частоты в области от 300 до 3300 Гц. Желательно синтезировать модем, который передает 2400 символов/с с целью достижения битовой скорости 9600 бит/с. Выберите подходящее сигнальное созвездие КАМ, частоту несущей и коэффициент ската импульса со спектром приподнятого косинуса, который использует всю полосу частот. Нарисуйте спектр передаваемого сигнального импульса и укажите основной диапазон частот.

9.10. Система связи для канала с речевой полосой (3 кГц) синтезируется для случая, когда ОСШ на приёме у детектора равно 30 дБ в то время как мощность передатчика  дБВт. Определите величину  если желательно расширить полосу системы до 10 кГц при сохранении того же ОСШ у детектора.

9.11. Покажите, что импульс, имеющий спектр приподнятого косинуса, определяемый (9.2.26), удовлетворяет критерию Найквиста (9.2.13) при любой величине коэффициента ската .

9.12. Покажите, что при любой величине , спектр приподнятого косинуса, определенный (9.2.26), удовлетворяет условию

.

Подсказка: используйте факт, что удовлетворяет критерию Найквиста (9.2.13).

9.13. Критерий Найквиста дает необходимые и достаточные условия для спектра  импульса , который обеспечивает нулевое МСИ. Докажите, что для любого импульса, ограниченного по полосе , условие нулевой МСИ удовлетворяется, если  для  состоит из прямоугольной функции плюс произвольной дополнительной функции около , a  - произвольная чётная функция около .

9.14. Телефонный канал с речевой полосой пропускает частоты в полосе 300 Гц <  < 3000 Гц.

a) Выберите скорость передачи символов и эффективный по мощности размер созвездия для достижения информационной скорости передачи 9600 бит/с.

b) Если используется для передаваемого импульса спектр, равный квадратному корню из спектра приподнятого косинуса, выберите коэффициент ската. Предположите, что канал имеет идеальную частотную характеристику.

9.15. Синтезируйте  -ичную систему AM, которая передает цифровую информацию по идеальному каналу с полосой  Гц. Битовая скорость равна 14400 бит/с. Определите число передаваемых сигнальных точек, число принимаемых сигнальных точек, используя дуобинарный сигнальный импульс, а также требуемую энергию  для достижения вероятности ошибки . Аддитивный шум гауссовский, с нулевым средним и спектральной плотностью мощности  Вт/Гц.

9.16. Двоичный AM сигнал генерируется путем возбуждения фильтра с частотной характеристикой приподнятого косинуса с коэффициентом ската 50 %, а затем образуется двухполосный AM сигнал без несущей, как показано на рис. Р9.16. Битовая скорость 2400 бит/с.

a) Определите спектр модулированного двоичного AM сигнала и нарисуйте его.

b) Начертите блок-схему оптимального демодулятора-детектора для принимаемого сигнала, который равен передаваемому сигналу плюс АБГШ.

Рис.Р9.16

9.17. Элементы последовательности  являются независимыми двоичными, случайными величинами, принимающие значения  с равной вероятностью. Эта последовательность данных используется для модуляции базового импульса , показанного на рис. Р9.17(а). Модулированный сигнал

.

а) Найдите спектральную плотность .

b) Если вместо  используется импульс  (см. рис. 9.17 b), как меняется спектр мощности из (а)?

Рис. Р9.17

c) Предположим, что в (b) мы желаем иметь нуль в спектре на частоте . Это делается посредством предкодера в виде . Найдите , которое обеспечит желательный нуль.

d) Возможно ли использовать предварительное кодирование в виде  для некоторых ограниченных  так, что окончательный спектр мощности равен нулю для ? Если да, то как? Если нет, почему? (Подсказка: используйте свойства аналитических функций).

9.18. Рассмотрите передачу данных посредством AM по речевому телефонному каналу, который имеет полосу 3000 Гц. Покажите, как меняется скорость передачи символов, как функция от излишка полосы. В частности, определите скорость передачи символов при излишке полосы на 25 %, 33 %, 50 %, 67 %, 75 % и 100 %.

9.19. Двоичная последовательность 10010110010 является входом предкодера, выход которого используется для модуляции дуобинарного передающего фильтра. Постройте таблицу, наподобие таблицы 9.2.1, показывающую последовательность на выходе предкодера, уровни передаваемых амплитуд, уровни принимаемых сигналов и декодированную последовательность.

9.20. Повторите задачу 9.19 для модифицированного дуобинарного сигнального импульса.

9.21. Предкодер для сигнала с парциальным откликом не в состоянии работать, если желательный парциальной отклик при  равен нулю по модулю . Например, рассмотрите желательный отклик для :

Покажите, почему такой отклик нельзя подвергнуть предварительному кодированию.

9.22. Рассмотрите  фильтр низких частот, показанный на рис. Р9.22, где .

Рис. Р9.22

a) Определите и нарисуйте задержку огибающей (групповую задержку) фильтра, как функцию от частоты.

b) Предположите, что вход фильтра - низкочастотный сигнал с полосой  кГц. Определите отклик  фильтра на этот сигнал.

9.23. Микроволновый радиоканал имеет частотную характеристику

.

Определите частотные характеристики оптимального передающего и приёмного фильтров, которые дают нулевое МСИ при скорости символов/с при наличии 50 % избыточной полосы. Предположите, что спектр аддитивного шума равномерный.

9.24. Четырехпозиционная AM используется для передачи с битовой скоростью 9600 бит/с по каналу, имеющему частотную характеристику

для  и  вне этой области частот. Аддитивный шум является гауссовским, белым с нулевым средним и спектральной плотностью мощности  Вт/Гц. Определите (амплитудные) частотные характеристики оптимального фильтра на передаче и приёме.

9.25. Определите пропускную способность кода (0,1) с ограниченным разбегом. Сравните эту пропускную способность с той же характеристикой для кода  и объясните соотношения.

9.26. Троичный формат сигнала синтезируется для канала, который не пропускает постоянную составляющую. Входная двоичная информационная последовательность передается путём отображения 1 или в положительный, или отрицательный импульс, а 0 передается отсутствием импульса. Следовательно, для передачи 1 полярность импульса чередуется. Это называют AMI (alternate mark inversion) кодом. Определите пропускную способность кода.

9.27. Дайте другое описание AMI кода, описанного в задаче 9.26, используя набегающую сумму цифр (RDS) с ограничением, что RDS может принимать только значения 0 и +1.

9.28. (Коды , ), В задаче 9.26 обратите внимание, что AMI является «псевдотроичным» кодом, в котором для передачи одного бита информации используется троичный символ, имеющий информационную ёмкость  бит. Этот код не обеспечивает необходимую форму спектра. Лучшую форму спектра даёт код, обозначаемый как , где  означает количество информационных бит, а  - число троичных символов на блок. При выборе наибольшего возможного  для каждого  получается следующая таблица:

Определите эффективность этих кодов путём вычисления отношения . Заметьте, что 1B1T - это код AMI.

9.29. Эта задача имеет дело с пропускной способностью двух  кодов.

а) Определите пропускную способность  кода, который имеет следующую матрицу переходов состояний

.

b) Повторите (а) для

.

с) Прокомментируйте разницу (а) и (b).

9.30. Простейшая модель телеграфного кода состоит из двух символов (Блэйхут, 1990). Точка содержит элемент сигнала «1» и «0». Тире состоит из трёх следующих без перерыва элементов «1» и одного элемента «0».

Рассмотрите этот код как код, составленный нз символов равной длительности.

Определите матрицу переходов состояний.

Определите информационную ёмкость кода.

9.31. Определите матрицу переходов состояний кода с ограниченным разбегом, который описывается диаграммой состояний, показанной на рис. Р9.31. Нарисуйте соответствующую решетку.

Рис. Р9.31

9.32. Определите матрицу переходов состояний для кода (2,7) с ограниченным разбегом, удовлетворяющего диаграмме состояний, показанной на рис. Р9.32.

Рис. Р9.32