14.6.1. Вероятность ошибки при декодировании мягких решений и использовании двоичного блокового кода
Рассмотрим декодирование линейного двоичного
кода при передаче
по каналу с релеевскими замираниями, как описано выше. Оптимальный декодер
мягких решений, основанный на правиле максимально правдоподобия, формирует
величин
для решения
,
, (14.6.1)
где
,
и
представляют квадраты
огибающих выходов
фильтров, которые настроены на
возможных
переданных частот. Решение делается в пользу кодового слова, которому
соответствует максимальное значение величины решения из набора
.
Наша цель в этом разделе сводится к определению вероятности
ошибки декодера мягких решений. Для этого предположим, что передаётся кодовое
слово
,
из одних нулей. Среднее принимаемое отношение сигнала/шум на частоту (на
ячейку) обозначим
. Суммарные принимаемые ОСШ для
частот равно
и, следовательно,
среднее ОСШ на бит
(14.6.2)
где
- скорость кода.
Величина для решения
, соответствующая кодовому слову
, определяется
(14.6.1) при
для
всех
.
Вероятность того, что решение принято в пользу
-го кодового слова равно
(14.6.3)
где
- вес
-го кодового слова. Но вероятность
(14.6.3) как раз вероятность ошибки при квадратичном сложении двоичных
ортогональных сигналов ЧМ с порядком разнесения
. Это значит
(14.6.4)
(14.6.5)
где
. (14.6.6)
Альтернативно мы можем использовать верхнюю границу
Чернова, полученную в разделе 14.4, которые можно представить здесь так
(14.6.7)
Сумма двоичных событий по всем
кодовым словам
с ненулевым весом даёт верхнюю границу вероятности ошибки. Итак,
(14.6.8)
Поскольку
минимальное расстояние линейного кода равно минимальному весу то следует
Использование
этих отношений вместе с (14.6.5) и (14.6.8) даёт простую, … свободную, верхнюю
границу, которую можно выразить в виде
(14.6.9)
Эта простая
граница указывает на то, что кодирование обеспечивает эффективный порядок разнесения,
равный
.
Ещё более простой является верхняя объединённая граница
,
(14.6.10)
которая
получается из границы Чернова, данной (14.6.7).
В качестве
примера, иллюстрирующего выгоду кодирования в релеевском канале с замираниями,
мы привели на рис. 14.6.2 кривые вероятности ошибки, полученные посредством
расширенного кода Голея (24,12) и двоичной ЧМ и четверичной ЧМ с двойным
разнесением.
Поскольку
расширенный код Голея требует в целом 48 ячеек и
, показатель расширения полосы
. Это также
показатель расширения полосы для двоичной и четверичной ЧМ с
. Следовательно,
три типа сигналов сравниваются при одинаковом показателе расширения полосы
частот. Заметим, что при
код Голея превосходит четверичную ЧМ
больше чем на 6 дБ, а при
разница, примерно, 10 дБ.
Объяснение
высокого качества кода Голея – его большое минимальное расстояние
, которое
переводится в эквивалентное разнесение восьмого порядка
. В противоположность этому
двоичные и четверичные сигналы ЧМ имеют только разнесение второго порядка.
Итак, код Голея более эффективно использует предоставляемую полосу частот
канала. Цену, которую мы должны заплатить за высокое качества кода – увеличение
сложности декодирования.