10.2.2. Критерий минимума среднеквадратичной ошибки (СКО)
При использовании
критерия минимума СКО, взвешивающие коэффициенты ячеек 
эквалайзера подстраиваются
так, чтобы минимизировать средний квадрат ошибки
, (10.2.24)
где 
- информационный символ,
переданный на 
-ом
сигнальном интервале, a 
- оценка этого символа на выходе
эквалайзера, определяемая (10.2.1). Если информационные символы 
комплексные, то
показатель качества при СКО критерия, обозначаемый 
, определяется так
. (10.2.25)
С другой стороны, когда
информационные символы вещественные, показатель качества просто равен квадрату
вещественной величины 
. В любом случае, является квадратичнйй
функцией коэффициентов эквалайзера . При дальнейшем обсуждении мы
рассмотрим минимизацию комплексной формы, даваемой (10.2.25).
Эквалайзер неограниченной
длины. Сначала
определим взвешивающие коэффициенты ячеек, которые минимизируют , когда эквалайзер
имеет неограниченное число ячеек. В этом случае, оценка определяется так
(10.2.26)
Подстановка (10.2.26) в
выражение для ,
определяемая (10.2.25), и расширение результата приводит к квадратичной функции
от коэффициентов .
Эту функцию можно легко минимизировать по посредством решения системы
(неограниченной) линейных уравнений для . Альтернативно, систему линейных
уравнений можно получить путём использования принципа ортогональности при
среднеквадратичном оценивании. Это значит, мы выбираем коэффициенты такие, что ошибка ортогональна
сигнальной
последовательности 
для 
. То есть
(10.2.27)
Подстановка в (10.2.27) даёт
или, что эквивалентно,
. (10.2.28)
Чтобы вычислить моменты в
(10.2.28), мы используем выражение для 
даваемое (10.1.16). Таким образом,
получим
(10.2.29)
и
(10.2.30)
Теперь, если подставим
(10.2.29) и (10.2.30) в (10.2.28) и возьмём 
-преобразование от обеих частей
результирующего уравнения, мы находим
. (10.2.31)
Следовательно,
передаточная функция эквалайзера, основанного на критерии минимума СКО, равна
. (10.2.32)
Если обеляющий фильтр
включён в 
,
мы получаем эквивалентный эквалайзер с передаточной функцией
. (10.2.33)
Видим, что единственная
разница между этим выражением для 
и тем, которое базируется на критерии
пикового искажения - это спектральная плотность шума 
, которая появилась в (10.2.33),
Если очень
мало по сравнению с сигналом, коэффициенты, которые минимизируют пиковые
искажения 
приближённо
равны коэффициентам, которые минимизируют по СКО показатель качества . Это значит, что в
пределе, когда 
,
два критерия дают одинаковое решение для взвешивающих коэффициентов. Следовательно,
когда 
, минимизация
СКО ведёт к полному исключению МСИ. С другой стороны, это не так, когда 
. В общем, когда , оба критерия дают
остаточное МСИ и аддитивный шум на выходе эквалайзера.
Меру остаточного МСИ и
аддитивного шума на выходе эквалайзера можно получить расчётом минимальной
величины ,
обозначаемую 
,
когда передаточная функция
эквалайзера определена
(10.2.32). Поскольку 
и поскольку 
с учётом условия
ортогональности (10.2.27), следует
. (10.2.34)
Эта частная форма для не очень
информативна. Больше понимания зависимости качества эквалайзера от канальных
характеристик можно получить, если суммы в (10.2.34) преобразовать в частотную
область. Это можно выполнить, заметив, что сумма в (10.2.34) является свёрткой и 
, вычисленной при
нулевом сдвиге. Так, если через 
обозначить свёртку этих
последовательностей, то сумма в (10.2.34) просто равна 
. Поскольку 
- преобразование
последовательности равно
, (10.2.35)
то слагаемое равно
. (10.2.36)
Контурный интеграл в
(10.2.36) можно преобразовать в эквивалентный линейный интеграл путём замены
переменной 
.
В результате этой замены получаем
. (10.2.37)
Наконец, подставив (10.2.37)
в сумму (10.2.34), получаем желательное выражение для минимума СКО в виде
(10.2.38)
В отсутствие МСИ 
и, следовательно,
. (10.2.39)
Видим, что 
. Далее,
соотношение между выходным (нормированного по энергии сигнала) ОСШ 
и выглядит так
.
Более
существенно то, что соотношение 
и также имеет силу, когда имеется
остаточная МСИ в дополнении к шуму на выходе эквалайзера.
Эквалайзер ограниченной длины. Теперь
вернём наше внимание к случаю, когда длительность импульсной характеристики
трансверсального эквалайзера простирается на ограниченном временном интервале,
т.е. эквалайзер имеет конечную память или ограниченную длину. Выход эквалайзера
на -м сигнальном
интервале равен
СКО эквалайзера с 
ячейками, обозначаемый 
, равен
Минимизация по взвешивающим
коэффициентам ячеек или, что эквивалентно, требуя, чтобы
ошибка 
была
бы ортогональна сигнальным отсчётам 
, 
, приводит к следующей системе
уравнений:
где
Удобно
выразить систему линейных уравнений в матричной форме, т.е.
где 
означает вектор столбец взвешивающих
значений кодовых ячеек, 
означает 
матрицу ковариаций Эрмита с
элементами 
;
а 
мерный
вектор столбец с элементами 
. Решение (10.2.46) можно записать в
виде
Таким образом, решение для 
включает в себя
обращение матрицы . Оптимальные взвешивающие
коэффициенты ячеек, даваемые (10.2.47), минимизируют показатель качества , что приводит к
минимальной величине
где 
определяет транспонированный вектор
столбец 
.
можно
использовать в (10.2.40) для вычисления ОСШ линейного эквивалента с коэффициентами
ячеек.
