2.1.2. Функции от случайных величин
Проблему, которая часто возникает в
практических приложениях теории вероятности, можно сформулировать так. Дана
случайная величина
, которая характеризуется своей ФПВ
, и надо найти ФПВ
случайной величины
, где
- некоторая заданная функция от
. Если
преобразование
от
к
взаимно
однозначное, определить
относительно просто. Однако, если
преобразование не является взаимно однозначным, как в случае, например, когда
, мы должны быть
более внимательны в определении
.
Пример 2.1.1. Рассмотрим случайную величину
, определённую как
, (2.1.39)
где
и
- константы. Мы предположим, что
. Если
, подход тот же (см.
задачу 2.3). Заметим, что это преобразование, иллюстрируемое рис. 2.1.4, (a),
является линейным и монотонным.
Рис.
2.1.4 Линейное преобразование случайной переменной и пример соответствующих ФПВ
для
и
Пусть
и
определяют ИФР для
и
соответственно. Тогда
. (2.1.40)
Дифференцируя (2.1.40) по
, получаем
зависимость между соответствующими ФПВ
. (2.1.41)
Таким образом, (2.1.40) и (2.1.41)
определяют ИФР и ФПВ случайной величины
через ИФР и ФПВ случайной величины
для линейного
преобразования (2.1.39). Чтобы проиллюстрировать это преобразование для
определённой ФПВ
,
рассмотрим пример распределения на рис. 2.1.4, (b).
Полученная ФПВ для преобразования (2.1.39) показана на рис. 2.1.4, (c).
Пример 2.1.2. Рассмотрим случайную величину
, определённую как
. (2.1.42)
Как в примере (2.1.1),
преобразование
и
взаимно
однозначно, следовательно,
. (2.1.43)
Дифференцирование (2.1.43) по
даёт соотношение
между двумя ФПВ
. (2.1.44)
Пример 2.1.3. Случайная величина
определена как
. (2.1.45)
В отличие от примеров (2.1.1) и
(2.1.2), связь между
и
, иллюстрируемая рис. 2.1.5, теперь не
взаимно однозначная. Чтобы найти ИФР для
, заметим, что
.
Следовательно,
. (2.1.46)
Рис.
2.1.5. Квадратичное преобразование случайной переменной
Дифференцируя (2.1.46) по
, мы получим ФВП
через ФВП
в виде
(2.1.47)
Для примера (2.1.3) мы замечаем,
что уравнение
имеет
два вещественных решения:
,
,
и что
содержит два слагаемых,
соответствующих этим двум решениям:
, (2.1.48)
где
означает первую производную от
по
.
В общем случае предположим, что
являются
вещественными корнями уравнения
. Тогда ФПВ для случайной величины
можно выразить так
, (2.1.49)
где корни
,
являются функциями от
.
Теперь рассмотрим функции от
многомерных случайных величин. Предположим, что
,
, являются случайными величинами с СФПВ
и что
,
- другой ряд
случайных величин, связанных с
функциями
,
. (2.1.50)
Считаем, что
,
, являются однозначными
обратимыми функциями с непрерывными частными производными. Под «обратимыми» мы
понимаем то, что
,
, можно
выразить как функцию от
,
, в форме
,
, (2.1.51)
причём обратный функции также
считаются однозначными с непрерывными частными производными. Задача сводится к
определению СФПВ
,
, т.е.
, через заданную
СФПВ
.
Чтобы найти нужное соотношение,
положим, что
означает
область в
-мерном
пространстве случайных переменных
,
, и что
является областью взаимно однозначного
отображения в
,
определённой функциями
.
Очевидно, что
. (2.1.52)
Путем замены переменных в
многомерном интервале в правой части (2.1.52) по формулам
,
получаем
, (2.1.53)
где
- якобиан преобразования, равный
определителю
. (2.1.54)
Следовательно, искомое соотношение
для СФПВ всех
,
,
. (2.1.55)
Пример 2.1.4. Важное функциональное соотношение между двумя рядами
-мерных случайных
величин, которое часто встречается на практике, -линейное преобразование
,
, (2.1.56)
где
- постоянные. Можно воспользоваться
матричной формой преобразования
, (2.1.57)
где
и
являются
-мерными векторами, а
- матрица размером
. Предположим, что
матрица
-
невырожденная. Тогда матрица
обратима, и
. (2.1.58)
Эквивалентная скалярная запись
,
, (2.1.59)
где
- элементы обратной матрицы
. Якобиан этого
преобразования
.
Следовательно,
. (2.1.60)