5.2.8. Дифференциальная ФМ (ДФМ) и её характеристики качества
Сигнал дифференциально-кодированный фазовой модуляции (ДФМ) позволяет
использовать вид демодуляции, который не требует оценки фазы несущей. Вместо
этого принимаемый сигнал на заданном сигнальном интервале сравнивается по фазе
с принятым сигналом на предыдущем сигнальном интервале. Для детальной
разработки предположим, что мы демодулируем сигнал ДФМ путём умножения
на
и
и интегрируем
произведения на интервале
На
-м сигнальном интервале
выход демодулятора равен
или, что эквивалентно,
(5.2.63)
где
-
комплексное число,
- фазовый угол переданного
сигнала на
-м
тактовом интервале,
- фаза несущей и
- вектор
шума. Аналогично принятый сигнальный вектор на выходе демодулятора на
предыдущем сигнальном интервале равен
(5.2.64)
В фазовом детекторе решение
принимается по разности фаз между двумя комплексными величинами. Эквивалентно
мы можем проектировать
на
и использовать фазу результирующего
комплексного числа, т.е. получим
(5.2.65)
откуда при отсутствии шума может
быть точно определена разность фаз
. Таким образом, значение
не зависит от фазы
несущей. Дифференциально кодированные сигналы ФМ, которые демодулируются и
декодируется описанным выше способом, называют обычно дифференциальной ФМ
(ДФМ).
Демодуляция и детектирование ДФМ с использованием согласованных
фильтров иллюстрируются рис. 5.2.11. Если импульс
прямоугольный, согласованные фильтры
можно заменить интеграторами со сбросом.
Теперь рассмотрим эволюцию характеристики качества (вероятности
ошибки) демодулятора и детектора ДФМ. Точный расчёт величины вероятности ошибки
для
-позиционной
ДФМ очень сложен, исключая случай
. Наибольшая трудность связана с
определением ФПВ для фазы случайной величины
, определяемой (5.2.65).
Однако, как мы теперь покажем, легко получить аппроксимацию характеристики
качества ДФМ.
Рис. 5.2.11. Блок-схема демодулятора ДФМ
Без потери общности предположим, что разность фаз
. Далее, экспоненциальные
множители
и
в
(5.2.65) можно включить в гауссовские шумовые компоненты
и
без изменения их
статистических свойств. Следовательно,
в (5.2.65) можно выразить так:
(5.2.66)
Сложность определения ФПВ фазы определяется слагаемым
. Однако
при больших ОСШ, представляющих практический интерес, слагаемое
мало по сравнению с
доминирующей компонентой шума
. Если мы пренебрежём слагаемым
и нормируем
делением на
, то
получим новый ряд метрик, по которым выносится решение:
(5.2.67)
Здесь
и
являются
некоррелированными гауссовскими случайными величинами с одинаковой дисперсией
. Фаза
равна
(5.2.68)
На этой стадии мы имеем проблему, которая идентична той, которую мы
решали ранее для фазово-когерентной демодуляции. Единственная разница в том,
что дисперсия шума теперь в два раза больше, чем в случае ФМ. На этом основании
заключаем, что характеристика качества ДФМ на 3 дБ хуже, чем для ФМ. Этот
результат относительно хорош для
, но он пессимистичен для
в том смысле, что
действительная потеря ДФМ относительно ФМ менее 3 дБ при больших ОСШ.
Это мы покажем ниже.
В двоичной ДФМ два возможных значения фазы передаваемого сигнала равны
и
. Как следствие,
только реальная часть
необходима для извлечения информации.
Используя (5.2.67), выразим реальную часть так:
Рис. 5.2.12. Вероятность ошибки для двоичной ФМ и ДФМ
Поскольку мы предполагали, что разность фаз между сигналами на
соседних интервалах равна 0, ошибка возникает, если
. Вероятность
того, что
,
это специальный случай исследования, данного в приложении В, где обсуждается
вероятность того, что общая квадратичная форма комплексных случайных
гауссовских величин меньше нуля. Общая форма для этой вероятности даётся (В.21)
в приложении В, и она зависит всецело от первого и второго моментов комплексных
гауссовских случайных величин
и
. Вычислив моменты и параметры, которые
являются функциями моментов, получим вероятность ошибки двоичной ДФМ в виде
(5.2.69)
где
-
это ОСШ на бит.
Графики
показаны
на рис. 5.2.12. На этом графике показана также вероятность ошибки двоичной
когерентной ФМ.
Видно, что при вероятности ошибки
разница в ОСШ между ФМ и
ДФМ менее 3 дБ. При
разница в ОСШ меньше 1 дБ.
Рис. 5.2.13. Вероятность ошибки на бит для двоичной и
четырехфазной ФМ и ДФМ
Вероятность ошибки на бит для четырёхфазной ДФМ с кодом Грея можно
выразить через известные функции.
Мы просто сформулируем здесь результат, а читателю, интересующемуся
деталями, рекомендуем приложение С. Результат выражается в виде
где
-
это
-функция
Mapкума, определенная (2.1.122) и (2.1.123),
- модифицированная функция
Бесселя нулевого порядка, определённая (2.1.120), а параметры
и
определяются так:
(5.2.70)
Рисунок 5.2.13 иллюстрирует зависимость вероятности ошибки на бит для
сигналов двух- и четырёхфазной ДФМ и когерентной ФМ, полученную расчётом по
точным формулам этого раздела.
Поскольку двоичная ДФМ мало уступает двоичной ФМ при больших ОСШ
и не требует разработки специального метода оценки фазы несущей, она часто
используется в цифровых системах. С другой стороны, четырёхфазная ДФМ
приблизительно на 2,3 дБ хуже по качеству, чем четырёхфазная ФМ при больших
значениях ОСШ. Следовательно, выбор между этими двумя четырёхфазными
системами неоднозначен. Надо взвесить потери в 2,3 дБ и упрощения в реализации
устройства.