5.1.5. Посимвольное детектирование для сигналов с памятью

В противоположность МП детектору последовательности для детектирования переданной информации теперь опишем детектор, который выполняет посимвольные решения, основанные на вычислении максимума апостериорной вероятности (МАВ) для каждого детектируемого символа. Следовательно, этот детектор оптимален в том смысле, что он минимизирует среднюю вероятность ошибочного приёма символа. Алгоритм детектирования, который представлен ниже, принадлежит Абенду и Фритчману (1970), которые разработали его как алгоритм детектирования для каналов с межсимвольной интерференцией, т.е. каналов с памятью.

Мы проиллюстрируем этот алгоритм применительно к детектированию сигнала AM с  возможными уровнями. Предположим, что необходимо детектировать информационный символ, переданный на -м сигнальном интервале, и пусть  - наблюдаемая принятая последовательность, а  - параметр задержки, который выбирается так, чтобы превысить память сигнала, т.е. , где  - присущая сигналу память. На основе принятой последовательности вычисляем апостериорные вероятности

                                                         (5.1.65)

для  возможных позиций символов и выбираем символ с наибольшей вероятностью. Так как

               (5.1.66)

а знаменатель общий для всех символов, правило максимума апостериорной вероятности (МАВ) эквивалентно выбору , который максимизирует числитель (5.1.66). Таким образом, правило выбора символа  можно записать так:

                   (5.1.67)

Если символы равновероятны, вероятности  можно исключить из вычислений.

Алгоритм для вычисления вероятностей в (5.1.67) рекуррентно начинается с первого символа . Имеем

                (5.1.68)

где  означает решение об и для математического удобства мы обозначили

                   (5.1.69)

Совместную вероятность  можно опустить, если все символы равновероятны и статистически независимы. Как следствие статистической независимости последовательности отсчётов аддитивного шума, имеем

               (5.1.70)

где мы предположили, что  для .

Для детектирования символа  имеем

                   (5.1.71)

Совместные условные плотности вероятности в суммах можно выразить так:

              (5.1.72)

Далее совместную плотность вероятности

можно получить через плотности вероятности, вычисленные ранее при детектировании . Это даёт

     (5.1.73)

Комбинируя (5.1.73) и (5.1.72), а затем подставив их в (5.1.71), получим

     (5.1.74)

где по определению

                        (5.1.75)

В общем рекуррентный алгоритм для детектирования символа  после приёма  можно записать в виде

      (5.1.76)

где по определению

                         (5.1.77)

Таким образом, рекуррентный характер алгоритма выражается соотношениями (5.1.76) и (5.1.77).

Основная проблема с этим алгоритмом - вычислительная сложность. В частности, усреднение, выполняемое над символами  в (5.1.76) требует большое число вычислений на одном такте принимаемого сигнала, особенно если число  уровней амплитуд  велико. С другой стороны, если  мало и память относительно невелика, этот алгоритм легко выполняется.