5.1.5. Посимвольное детектирование для сигналов с памятью
В противоположность МП детектору последовательности для детектирования
переданной информации теперь опишем детектор, который выполняет посимвольные
решения, основанные на вычислении максимума апостериорной вероятности (МАВ) для
каждого детектируемого символа. Следовательно, этот детектор оптимален в том
смысле, что он минимизирует среднюю вероятность ошибочного приёма символа.
Алгоритм детектирования, который представлен ниже, принадлежит Абенду и
Фритчману (1970), которые разработали его как алгоритм детектирования для
каналов с межсимвольной интерференцией, т.е. каналов с памятью.
Мы проиллюстрируем этот алгоритм применительно к детектированию
сигнала AM с 
возможными
уровнями. Предположим, что необходимо детектировать информационный символ,
переданный на 
-м
сигнальном интервале, и пусть 
- наблюдаемая принятая
последовательность, а 
- параметр задержки,
который выбирается так, чтобы превысить память сигнала, т.е. 
, где 
- присущая сигналу
память. На основе принятой последовательности вычисляем апостериорные
вероятности
(5.1.65)
для возможных
позиций символов и выбираем символ с наибольшей вероятностью. Так как
(5.1.66)
а знаменатель общий для всех символов, правило максимума апостериорной
вероятности (МАВ) эквивалентно выбору 
, который максимизирует
числитель (5.1.66). Таким образом, правило выбора символа можно записать
так:
(5.1.67)
Если символы равновероятны, вероятности 
можно исключить из
вычислений.
Алгоритм для вычисления вероятностей в (5.1.67) рекуррентно начинается
с первого символа 
.
Имеем
(5.1.68)
где 
означает
решение об 
и
для математического удобства мы обозначили
(5.1.69)
Совместную вероятность 
можно опустить, если все
символы равновероятны и статистически независимы. Как следствие статистической
независимости последовательности отсчётов аддитивного шума, имеем
(5.1.70)
где мы предположили, что 
для 
.
Для детектирования символа 
имеем
(5.1.71)
Совместные условные плотности вероятности в суммах можно выразить так:
(5.1.72)
Далее совместную плотность вероятности
можно получить через плотности вероятности, вычисленные ранее при
детектировании 
.
Это даёт
(5.1.73)
Комбинируя
(5.1.73) и (5.1.72), а затем подставив их в (5.1.71), получим
(5.1.74)
где по определению
(5.1.75)
В общем рекуррентный алгоритм для детектирования символа 
после приёма 
можно записать в
виде
(5.1.76)
где по определению
(5.1.77)
Таким образом, рекуррентный характер алгоритма выражается
соотношениями (5.1.76) и (5.1.77).
Основная проблема с этим алгоритмом - вычислительная сложность. В частности,
усреднение, выполняемое над символами 
в (5.1.76) требует большое
число вычислений на одном такте принимаемого сигнала, особенно если число уровней
амплитуд 
велико.
С другой стороны, если мало и память относительно
невелика, этот алгоритм легко выполняется.
