ЗАДАЧИ
2.1. Один эксперимент имеет четыре взаимосвязанных
результата
,
, а
второй эксперимент имеет три взаимосвязанных результата
,
. Совместные вероятности
Определите вероятность
,
, и
,
.
2.2. Случайные величины
,
, имеют СФПВ
. Докажите,
что
.
2.3. Дана
-
ФПВ случайной величины
.
Случайная величина
определяется как
,
где
.
Определите ФПВ
через
ФПВ
.
2.4. Предположим, что
является гауссовской случайной
величиной с нулевым средним и единичной дисперсией.
Пусть
,
. Определите и постройте график ФПВ для
.
2.5. а) Пусть
и
- статистически независимые
гауссовские случайные величины с нулевыми средними и одинаковыми дисперсиями.
Покажите, что преобразование (поворот) вида
порождает другую пару
гауссовских случайных
величин, которые имеют ту же СФПВ, что и пара
.
b) Заметим, что
в п. а)
,
где
-
матрица размерности
. В порядке обобщения двухмерного
преобразования гауссовских случайных величин из а) определите, какие свойства
должны быть у матрицы (преобразования)
для тоге, чтобы ФПВ
и
, где
,
и
, были бы
одинаковыми.
2.6. Случайная величина
определяется как
, где
,
- статистически независимые
случайные величины, причем
a) Определите
характеристическую функцию
.
b) При помощи
характеристической функции определите момент
и
.
2.7. Четыре случайные величины
,
,
,
являются
совместно гауссовскими с нулевыми средними, с ковариацией
и характеристической
функцией
.
Покажите, что
.
2.8. При помощи характеристической функции для центрального
и нецентрального хи-квадрат-распределения случайных величин, определяемых
соответственно по формулам (2.1.109) и (2.1.117), определите
соответствующие первые и вторые моменты (формулы (2.1.112) и (2.1.125)).
2.9. Случайная величина
распределена по Коши с ФПВ
,
.
a) Определите
среднее и дисперсию
.
b) Определите
характеристическую функцию
.
2.10. Случайная величина
определена
как
, где
,
- статистически
независимые и одинаково распределенные случайные величины, каждая из которых
имеет распределение Коши из задачи 2.9.
a) Определите
характеристическую функцию
.
b) Определите
ФПВ для
.
c) Рассмотрите
ФПВ
в
пределе при
.
Работает ли центральная предельная теорема? Обоснуйте ваш ответ.
2.11. Предположим, что случайные процессы
и
являются
совместно и по отдельности стационарными.
a) Определите
функцию автокорреляции
.
b) Определите
автокорреляционную функцию
для случая, когда
и
не коррелированы.
c) Определите
автокорреляционную функцию для случая, когда
и
являются некоррелированными и имеют нулевые средние.
2.12. Функция автокорреляции случайного процесса
определяется так:
.
Такой процесс называется белым шумом.
Пусть
является входом для идеального полосового фильтра с частотной
характеристикой, показанной на рис. 2.12. Определите суммарную мощность шума на
выходе фильтра.
Рис. Р2.12
2.13. Дана ковариационная матрица
случайных величин
,
и
.
Осуществлено линейное преобразование
, где
.
Определите ковариационную матрицу для
.
2.14. Пусть
является вещественным стационарным
гауссовским процессом с нулевым средним. Пусть новый процесс определен как
. Определите автокорреляционную функцию
через автокорреляционную
функцию
. Подсказка: используйте результат для гауссовских случайных
величин и задачи 2.7.
2.15. Для ФПВ Накагами (формула 2.1.147) определите
нормированную случайную величину
. Найдите ФПВ для
.
Рис. Р2.16
2.16. Входным воздействием цепи, показанной на рис.
2.16, является случайный процесс
с
и
, т.е.
является белым шумом.
a) Определите
спектральную плотность мощности выхода
.
b) Определите
и
.
2.17. Докажите справедливость (2.2.38).
2.18. Докажите, используя границу Чернова, что
, где
определяется
(2.1.97).
2.19. Определите среднее, автокорреляционную
последовательность и спектральную плотность мощности для сигнала на выходе
системы (цифрового фильтра) с импульсной характеристикой
если входной случайный процесс
является
белым шумом с дисперсией
.
2.20. Автокорреляционная последовательность
дискретного во времени случайного процесса равна
.
Определите его спектральную плотность мощности.
2.21. Случайный процесс с дискретным временем
получен периодическим стробированием стационарного процесса
с непрерывным временем и нулевым средним, где
-
период стробирования, т.е.
является скоростью
выборки отсчетов.
a) Определите
соотношения между функцией автокорреляции сигнала
и автокорреляционной
последовательностью его отсчётов
.
b) Выразите
спектральную плотность мощности процесса
через спектральную плотность мощности
процесса
.
c) Определите условия, при которых
спектральная плотность мощности
равна спектральной плотности мощности
.
2.22.
Рассмотрим частотно-ограниченный стационарный случайный процесс
с нулевым
средним и спектральной плотностью мощности (квазибелый случайный процесс)
Для
образования процесса с дискретным временем
берутся отсчёты
со скоростью
.
a) Определите выражение для
автокорреляционной последовательности
.
b) Определите минимальное значение
, необходимое для
получения «белой» последовательности (спектрально ровной).
c) Повторите b) для случая,
когда спектральная плотность для
определена
как
2.23.
Покажите, что функции
,
являются
ортогональными на интервале
, т. е.
Следовательно,
формулу из теоремы отсчётов можно рассматривать как представление частотно-ограниченного
сигнала
обобщённым рядом Фурье, где веса разложения - это отсчёты
сигнала
, а
- ансамбль ортогональных функций, используемых в
ортогональном разложении.
2.24.
Эквивалентная шумовая полоса частот системы определена как
, где
. Используя это
определение, найдите эквивалентную шумовую полосу идеального полосового фильтра,
показанного на рисунке Р2.12, и низкочастотного
фильтра, показанного на рисунке Р2.16.