Линейные и квадратичные функции твисторов, момент импульса

Два класса функций определяющих БСК, представляют особый интерес. Во-первых, если функция линейна по то на основании теоремы (7.4.14) мы получаем в общем случае конгруэнцию, которая уже встречалась в теории твисторов, а именно конгруэнцию Робинсона. Она определялась по БСК-спинорному полю ассоциированному с заданным твистором так что (гл. 6, § 2). Как было показано в формуле (6.2.5), ее образующими являются

изотропные линии ассоциированные с твисторами которые удовлетворяют условию Поэтому теорема (7.4.14) приводит к конгруэнции Робинсона для заданного твистора если функцию выбрать в виде

Итак, конгруэнции Робинсона возникают, если в теореме (7.4.14) или, что эквивалентно, в теореме (7.4.8) есть произвольная линейная функция.

Чтобы определить второй класс функций, рассмотрим (сопряженный) твистор момента импульса общего вида, который мы определили соотношением (6.3.11), и положим

Если в качестве базовой выбрать точку Р, то запишется в виде

Следовательно, с учетом формулы (6.3.11) имеем

в точке Р, если только выполнено условие Здесь спинор связан с моментом импульса относительно точки Р соотношением (6.3.10):

и, следовательно, соотношение (7.4.18) показывает, что БСК, определяемая функцией (7.4.16), образована лучами, которые в каждой точке совпадают с ГИН тензора момента импульса. В частном случае, когда спин равен нулю (но масса отлична от нуля), конгруэнция образована световыми лучами, которые пересекают (прямую) времениподобную мировую линию центра масс у. В этом случае конгруэнция ортогональна системе гиперповерхностей (а ее лучи образуют изотропные гиперповерхности), которые будут световыми конусами точек линии у. При наличии спина конгруэнция носит более общий характер и обладает вращением, зависящим от спина. Всякую такую конгруэнцию можно получить как линейный предел ГГИН конгруэнции решения Керра вакуумных уравнений Эйнштейна, изображающего вращающуюся черную дыру или содержащего голую сингулярность. В случае нулевой массы покоя конгруэнция распадается на две части, поскольку в силу формулы (6.3.2) имеем Таким образом, одна часть будет конгруэнцией Робинсона, определяемой спинором а другая — системой

параллельных лучей, определяемых спинором и ориентированных в направлении 4-импульса.

В случае произвольного времениподобного импульса локально имеем две конгруэнции (т. е. через каждую точку проходят два луча), которые, однако, сцеплены глобально в том смысле, что существует непрерывный путь перехода от одной конгруэнции к другой. Если — полином порядка а не порядка 2, как в формуле (7.4.16), то мы имеем таких конгруэнций, сцепленных глобально.