изотропные линии
ассоциированные с твисторами
которые удовлетворяют условию
Поэтому теорема (7.4.14) приводит к конгруэнции Робинсона для заданного твистора
если функцию
выбрать в виде
Итак, конгруэнции Робинсона возникают, если
в теореме (7.4.14) или, что эквивалентно,
в теореме (7.4.8) есть произвольная линейная функция.
Чтобы определить второй класс функций, рассмотрим (сопряженный) твистор момента импульса общего вида, который мы определили соотношением (6.3.11), и положим
Если в качестве базовой выбрать точку Р, то
запишется в виде
Следовательно, с учетом формулы (6.3.11) имеем
в точке Р, если только выполнено условие
Здесь спинор
связан с моментом импульса
относительно точки Р соотношением (6.3.10):
и, следовательно, соотношение (7.4.18) показывает, что БСК, определяемая функцией (7.4.16), образована лучами, которые в каждой точке совпадают с ГИН тензора момента импульса. В частном случае, когда спин равен нулю (но масса отлична от нуля), конгруэнция образована световыми лучами, которые пересекают (прямую) времениподобную мировую линию центра масс у. В этом случае конгруэнция ортогональна системе гиперповерхностей (а ее лучи образуют изотропные гиперповерхности), которые будут световыми конусами точек линии у. При наличии спина конгруэнция носит более общий характер и обладает вращением, зависящим от спина. Всякую такую конгруэнцию можно получить как линейный предел ГГИН конгруэнции решения Керра вакуумных уравнений Эйнштейна, изображающего вращающуюся черную дыру или содержащего голую сингулярность. В случае нулевой массы покоя конгруэнция распадается на две части, поскольку в силу формулы (6.3.2) имеем
Таким образом, одна часть будет конгруэнцией Робинсона, определяемой спинором
а другая — системой