Твисторное уравнение

Мы будем исходить из уравнения [формулы (4.12.46) и 5.6.38)])

называемого твисторным уравнением [239] (см. также [99]). Сначала исследуем его формальные свойства, отложив обсуждение физического и геометрического смысла до следующих параграфов. Во-первых, легко показать, что оно конформноинвариантно. Выбрав

получаем из (5.6.15) и (5.6.14)

откуда

Тем самым конформная инвариантность доказана.

В искривленном пространстве-времени существует жесткое условие совместности для уравнения (6.1.1), аналогичное условию (5.8.2). В самом деле, мы имеем [формулы (4.9.2), (4.9.11), (4.6.35), (5.1.44)]

что позволяет учесть наличие электромагнитного поля и возможное наличие у поля заряда е. Таким образом, из уравнения (6.1.1) следует уравнение

аналогичное уравнению (5.8.2). Если то, учитывая предложение (3.5.26), мы находим, что есть четырехкратный главный спинор спинора Члвсс. Таким образом, ненулевые незаряженные решения твисторного уравнения могут существовать лишь в точках, где спинор Члвсо либо равен нулю, либо является «изотропным» (т. е. имеет четырехкратный главный спинор). При ситуация не улучшается. Учитывая эти трудности, мы будем в настоящей главе рассматривать уравнение (6.1.1), ограничиваясь случаем конформно-плоского пространства-времени (которое характеризуется условием

см. § 8, 9), причем большая часть вычислений будет выполнена фактически в пространстве Минковского М. Обобщение на конформно-плоское пространство затем получается из условия конформной инвариантности. (Относительно обобщения на искривленное пространство см.: локальные твисторы — § 9; твисторы на гиперповерхности — гл. 7, § 4; на 2-поверхности — гл. 9, § 9.) Даже в плоском пространстве уравнение (6.1.6) имеет лишь тривиальные решения, если и поле не везде равно нулю. Поэтому в дальнейшем, если специально не оговаривается, все поля будем считать незаряженными.

В пространстве Минковского уравнение (6.1.1) допускает нетривиальные решения. Найдем их явный вид. Для этого фиксируем в М произвольную точку О в качестве начала координат и будем описывать точки векторами исходящими из точки О. Мы рассматриваем как векторное поле на М. В точке О оно принимает нулевое значение и всюду удовлетворяет уравнению

поскольку в стандартных координатах Минковского компоненты вектора определяющего точку, совпадают с координатами этой точки. Далее рассмотрим величину

где сос — решение уравнения (6.1.1). Эта величина антисимметрична по индексам В, С. Но так как пространство М плоское, производные коммутируют, откуда следует антисимметрия по индексам А, С. Следовательно, все выражение (6.1.8) антисимметрично по индексам А, В, С, а значит равно нулю. Это говорит нам, что есть константа. В силу антисимметрии она должна быть пропорциональна например равна где — некоторый постоянный спинор. (Множитель введен для удобства.) Таким образом, имеем

Интегрирование этого уравнения дает что можно показать, записав его в явном координатном представлении; следовательно, мы находим

где — спиноры, которые имеют следующий смысл. Так как - спинорное поле, правая часть первого равенства (6.1.10) тоже должна быть спинорным полем. Это требование можно выполнить, рассматривая как постоянные

спинорные поля, значения которых совпадают со значениями спинорных полей соответственно, в начале координат. В дальнейшем такой смысл будут иметь все спиноры, которые отмечены кружком над корневой буквой. (Символ «о» над здесь, конечно, «избыточный»; но он поможет сделать более последовательным дальнейшее изложение.)