§ 5. Конформные векторы Киллинга; сохраняющиеся величины и точные последовательности

В предыдущем параграфе мы познакомились с одним из способов получения десяти сохраняющихся величин, связанных с группой Пуанкаре (энергия-импульс, момент импульса) и характеризующих источники линеаризованного гравитационного поля. Приведем теперь другой способ вычисления этих величин, а также укажем на их связь с пятью дополнительными сохраняющимися величинами, возникающими в конформно-инвариантной теории. Соотношения между сохраняющимися величинами группы Пуанкаре и конформной группы весьма любопытны и довольно сложны. Чтобы получить более полное представление об этих соотношениях, мы кратко остановимся на важном понятии точных последовательностей (что пригодится нам также в дальнейшем в другом контексте).

Конформные векторы Киллинга

Сначала еще раз обратимся к уравнению [формула (6.1.70)]. На основании результатов (3.4.5) и (3.4.9) его можно рассматривать как тензорное уравнение, выражающее факт равенства нулю бесследовой симметричной части тензора

Это — конформное уравнение Киллинга. Оно эквивалентно соотношению прямой пропорциональности

причем коэффициент пропорциональности можно найти, вычислив след в предыдущем уравнении. Соотношение (6.5.2) можно записать иначе [формула (4.3.3)]:

Если — действительное векторное поле, то уравнение (6.5.3) означает, что при переносе метрики вдоль поля она лишь приобретает дополнительный множитель. Таким образом, в поле находит выражение локально-конформная (активная) симметрия пространства-времени. Такое поле иногда называют генератором инфинитезимальных конформных движений пространства-времени, при которых каждая точка сдвигается на вектор где — бесконечно малый параметр преобразования

В общем случае искривленного пространства-времени локальная конформная симметрия отсутствует и, следовательно, уравнение (6.1.70) не имеет нетривиальных решений. В другом крайнем случае плоского или конформно-плоского пространства-времени это уравнение допускает максимальное число линейнонезависимых решений — 15. Эти решения в явном виде представлены в четвертом равенстве (6.1.55). Поскольку поле считается действительным, условия (6.1.68) выполняются, т. е. ассоциированный твистор который определен в формулах (6.1.54) и (6.1.56), является эрмитовым. Подсчитывая полное число степеней свободы, мы видим, что имеются четыре независимые компоненты спинора восемь компонент спинора и четыре компоненты спинора всего 16. Однако эти коэффициенты не определяются полностью полем Как показано в § 1, это поле инвариантно по отношению к преобразованиям

(где параметр должен быть действительным, чтобы твистор оставался эрмитовым), которые изменяют лишь след

твистора Таким образом, бесследовая часть твистора равная

однозначно определяется конформным вектором Киллинга. Теперь мы имеем 15 степеней свободы [по числу независимых действительных компонент твистора (6.5.5)].

Решение четвертого уравнения (6.1.55) (для эрмитова поля можно следующим образом переписать в тензорных обозначениях:

где

Эти четыре слагаемых имеют смысл генераторов трансляций (четыре параметра), генераторов лоренцевых вращений (шесть параметров), растяжений (один параметр) и специальных конформных преобразований (четыре параметра), иногда неудачно называемых преобразованиями постоянного ускорения. Если и равны нулю одновременно, то — обычный вектор Киллинга

и генерирует преобразования группы Пуанкаре (10 параметров). В искривленном пространстве-времени уравнение (6.5.8) имеет нетривиальные решения лишь в том случае, когда пространство-время допускает локальные движения, сохраняющие метрику (а не только конформные движения), как это имеет место, например, в случае стационарного пространства-времени.