§ 9. Энергия-импульс и момент импульса

В гл. 6, § 4 и 5 мы говорили об энергии-импульсе и моменте импульса в линеаризованном пределе слабого поля общей теории относительности. Было предложено воспользоваться

-твистором для понижения спина поля от двух до единицы, с тем чтобы десять законов сохранения в гравитационном случае (энергии-импульса и момента импульса) можно было свести к одному, как в теории электромагнетизма (закон сохранения электрического заряда). Здесь будет дано обобщение этой процедуры на полную общую теорию относительности [259] (более ранние аналогичные подходы см. в работах [328, 167, 324]). Как мы увидим, на пути получения столь же полного набора законов сохранения в рамках общей теории относительности, как и в ее линеаризованном пределе, возникают весьма большие сложности. В нашем подходе они отражают особенности и ограничения, возникающие при введении твисторов в искривленном пространстве-времени. Ключом к решению проблемы будет введение нового типа твисторов, так называемых твисторов двумерной поверхности, которые обладают свойством понижения спина даже в общем случае искривленного пространства-времени Применительно к гиперповерхности наш метод дает не вызывающее возражений определение 4-импульса Бонди — Сакса. Он приводит также к новому определению момента импульса, которое представляется имеющим преимущества перед определениями, предложенными ранее. Кроме того, предлагаемый метод в принципе позволяет дать определение комплекса энергии-импульса/момента импульса, относящегося к полной системе материи и гравитационного поля, ограниченной конечной замкнутой двумерной поверхность.

Линейная теория

Напомним, что, когда речь шла об источниках в линеаризованной теории гравитации (гл. 6, § 4 и 5), были даны два интегральных описания в М. В первом из них 2-форма

[формула (6.5.45)] интегрируется по замкнутой двумерной поверхности 9, что дает некоторую меру для источников, окруженных поверхностью , а во втором интегрируется 3-форма

[формула (6.5.49)] по области трехмерного объема Т, что дает меру полного потока источников через Т. Когда — компактная область с границей [формула (6.5.51)], оба определения согласуются в силу фундаментальной теоремы

внешнего исчисления. В этих формулах и линеаризованный тензор кривизны и тензор энергии-импульса. Кроме того, как и в формуле (6.4.7),

есть действительный кососимметричный тензор, построенный из главной части симметричного твистора так что имеем

в силу формулы (6.1.69). В соответствии же с формулой (6.4.6) мы имеем эквивалентное уравнение

где — тензор, связанный с вектором Киллинга соотношением

[ср. с формулами (6.5.25) и (6.5.40)]. Напомним также [см. формулу (6.5.15) и рис. 6.6, 6.7], что если — главная часть (твисторно-) эрмитова бесследового твистора то соотношение (9.9.6) принимает вид

Кроме того, из уравнений (9.9.4) [т. е. (9.9.5)] и (9.9.6) автоматически следует уравнение Киллинга

причем таким путем получаются все десять линейно-независимых векторов Киллинга для М. Поскольку пространство комплексно-десятимерно, имеются десять комплексных линейнонезависимых решений уравнения (9.9.4) и, следовательно, двадцать действительных линейно-независимых решений уравнения (9.9.5). Десять из них приводят к нулевому вектору Киллинга в уравнении (9.9.6), причем соответствующие тензоры выражаются в виде

[ср. с формулой (6.5.41) и рис. 6.6, 6.7], где конформный вектор Киллинга. Твисторное выражение для тензоров (9.9.9) таково:

где — главная часть (Твисторно-) эрмитова бесследового твистора