Частные случаи

Решения (8.3.25) мы получили, полагая, что точки В, С и не совпадают друг с другом [формула (8.3.17)]. Представляют интерес различные частнйе и предельные случаи. Если или то точка А совпадает соответственно с В или С [формула (8.3.18)]; при (удерживая произведение конечным) мы придем к ситуации, когда А совпадает с D. В каждом из этих трех случаев два значения X в формуле (8.3.25) одинаковы, а третье всегда от них отличается. Если после такого рода совпадений А с одной из точек В, С, D два оставшихся направления тоже совпадут, но будут отличаться от А, то величина останется неизменной [что следует из (8.3.14)], а кроме того, останутся в силе соотношения (8.3.25). Однако, как видно из (8.3.14), если совпадут три из точек А, В, С, D, то в зависимости от того, как они будут стремиться к совпадению, может принять любое предельное значение, что мы договоримся записывать как (Если, например, положить то получится предположив же, что при произвольном значении мы обнаружим, что совпадение точек А, В и С достигается при Очевидно, что для непротиворечивости

сказанного все X в формуле (8.3.25) в пределе должны обращаться в нуль. Итак, установлено следующее соответствие:

[ср. с формулой (8.3.13)] и, как частный случай этого соответствия,

Если известны компоненты спинора Вейля то для построения его собственных спиноров достаточно найти собственные векторы матрицы (8.3.5), с помощью которых соответствующий собственный спинор можно записать в виде

(В этом не трудно убедиться, умножив первую строку на Тсолв.)

Отметим, что собственные спиноры, относящиеся к различным собственным значениям, взаимно ортогональны. Это известный результат теории матриц, справедливость которого в данном контексте следует из равенств

где — собственные спиноры, относящиеся к соответствующим собственным значениям если то

Таким образом, в ситуации, когда все собственные значения различны (т. е. в случае , в пространстве существует триада взаимно ортогональных собственных спиноров (этот вывод нельзя считать заранее очевидным, поскольку наша матрица не является действительно-симметричной), которую можно выбрать так, чтобы она была ортонормированной. Введя для этой триады обозначения мы получим спиновую систему отсчета [см. текст после формулы (3.8.3)], в которой матрица из (8.3.5) будет диагональной, скажем . Тогда из равенства нулю недиагональных элементов матрицы в этой системе отсчета следует, что

а для диагональных элементов выполняются равенства

которые приводят к следующим выражениям для компонент спинора Вейля:

Подставив эти выражения в (8.3.9), получим формулу

которая дает каноническую форму любого спинора Вейля типа {1111}. Можно сравнить эту формулу с альтернативной канонической формой, определяемой выражениями (8.3.20) и (8.3.9), где флагштоки спиноров являются ГГИН [формула (8.3.17)]. Здесь флагштоки спиноров и являются ГИН одного из собственных спиноров (а именно спинора в формуле (8.3.3)]. Ясно, что в выборе канонической формы есть определенный произвол, но сделанный нами выбор в виде (8.3.34) позволяет проанализировать свойства геометрической симметрии типа {1111} (см. § 5) в более явной форме, нежели при любом другом выборе.

Отметим, что при значении которое дает гармонические спинор Вейля Члвсо можно представить в виде суммы двух симметричных спиноров типа . И наоборот, сумма (или разность) (не пропорциональных друг другу) спиноров типа должна быть гармонической, так как

и двойное отношение четырех сомножителей в правой части является гармоническим [формула (8.3.14)].

Каноническая форма (8.3.34) не требует, чтобы все величины были разными. Она требует лишь, чтобы для спинора лвсо существовал набор из трех линейно-независимых собственных спиноров (который потом можно выбрать так, чтобы он был ортонормированным). В случае типов можно положить , чтобы убедиться в возможности существования такой канонической формы, подставить это значение в (8.3.34). Результат такой подстановки имеет вид

и показывает, что спинор Вейля относится к типу т. е. что пространство нельзя натянуть на собственные спиноры спинора Вейля типа но можно натянуть на собственные спиноры спинора Вейля, относящегося к типу Ясно, что любой спинор Вейля типа обладает канонической формой (8.3.36) с Столь же ясно, что спинор типа может принять форму (8.3.34) с и на его собственные спиноры можно натянуть пространство Однако в случаях типов пространство нельзя натянуть на собственные спиноры, но все они имеют форму где — кратный главный спинор спинора [а спинор в случае типа пропорционален спинору см. таблицу (8.3.41), которая приводится ниже]. Поскольку из формулы следует, что таким образом, либо спинор как и утверждалось, является главным спинором спинора либо Однако и в последнем случае остается справедливым равенство которое совершенно очевидным образом получается из для типа и почти столь же очевидным образом в случае типа (нужно один раз провести операцию трансвекции с другим главным спинором спинора Тлвсо).

Канонические формы для типов можно получить совершенно тривиальным образом, положив

соответственно. И в том, и в другом случае имеет место свобода которая позволяет избавиться от любого множителя перед всем выражением. [В случае же типа такая свобода не позволяет избавиться от коэффициента в формуле ] В случае мы имеем ровно три различных а потому можем выбрать такую спиновую систему отсчета, чтобы ГГИН имели по отношению к ней три любые заранее заданные ориентации, скажем совпадали с направлениями флагштоков спиноров что дает

где множители перед полными выражениями выбраны так, чтобы обеспечивалось согласие с формулой (8.3.25) при [собственные значения матрицы (8.3.5) соответствуют следующим значениям компонент спинора Вейля: . Очевидно, что возможны и многие другие альтернативные канонические формы спинора Вейля.

Сводка канонических форм; типы Петрова и жордановы формы.

Канонические формы (8.3.34), (8.3.36) — (8.3.39), соответствующие разным типам спинора Вейля, можно свести в таблицу:

Собственные спиноры и соответствующие собственные векторы легко находятся в каждом случае из матрицы (8.3.5); нужно лишь перевести рассматриваемые собственные векторы в спинорную форму, пользуясь соотношением (8.3.30). Полученные результаты приведены в таблице (8.3.41), где каждое собственное значение помещено непосредственно под соответствующим собственным спинором. В тех случаях, когда одному и тому же собственному значению соответствует более одного собственного спинора, можно использовать альтернативные линейные комбинации собственных спиноров.

Отметим, что в случаях типов собственные спиноры стягивают трехмерное комплексное пространство, в случаях типов на них натянуто двумерное комплексное пространство и, наконец, в случае типа они стягивают одномерное комплексное пространство. В первоначальной терминологии Петрова (хотя сам он пользовался тензорным, а не спинорным исчислением) три случая {1111}, {22} и {-} относятся к «типу I», два случая а случай к «типу III». Схема (8.1.9) построена таким образом, что каждый ее столбец соответствует одному типу Петрова.

Нормальные жордановы формы, к которым может быть приведена матрица V (8.3.5) с помощью преобразования подобия, легко получить из (8.3.41). Результаты приведены на схеме (8.3.42), которая содержит и схему специализации (8.1,9).

(см. скан)