Спинорные поля; твисторы в n измерениях

Как мы помним, мы с самого начала допускали, что пространство может быть (при соответствующих условиях) модулем, а не векторным пространством и может описывать, скажем, векторные поля на некотором (псевдо-)римановом-многообразии. Соответствующее пространство и в этом случае описывало бы спинорные поля. Величина (или служит в этом случае для преобразования касательных векторных полей к спинорной форме. Таким образом, мы имеем аналоги уравнения Дирака или Дирака — Вейля

при всех значениях Можно также ввести аналоги локальных твисторов и процедуры локального переноса твистора (см. работу [43] и гл. 6, § 9, а также неопубликованную работу Спарлинга где это выполняется в более явном виде). На вопрос о том, что следует рассматривать в качестве теории твисторов в измерениях, можно дать разный ответ. Можно, например, мыслить гиперпространство Минковского с размерностью и сигнатурой компактифицированным, как в гл. 9, § 2. В качестве конформной группы на этом компактифицированном пространстве действует группа Таким образом, мы приходим к ситуации, описываемой предшествующей теорией для случая, когда размерность равна а сигнатура равна . В качестве твисторов этого гиперпространства могут быть взяты спиноры группы

Другой (но по существу эквивалентный) путь состоит в том, чтобы написать -мерное обобщение твисторного уравнения (6.1.1):

(т. е. во втором случае), общие решения которого в гиперпространстве Минковского имеют вид

где — константы. Уравнение было введено Вессом и Зумино [367] в контексте теории суперсимметрии. Здесь но уравнение эквивалентно двум копиям уравнения штрихованной и нештрихованной, которые переходят друг в друга при комплексном сопряжении, если — «майора-новский» спинор, а именно

Эти соображения иногда оказываются полезными при решении дифференциальных уравнений методом, аналогичным изложенному в гл. 6, § 10, который приводит к выражениям, содержащим контурные интегралы. Элегантный пример подобной процедуры был предложен Хьюстоном. — функция двух твисторов которая голоморфна в некоторой области и имеет общую степень однородности — 4 (она не обязательно однородна по в отдельности). Твистор считается кососимметричным, а его значения рассматриваются

как координаты точек в шестимерном пространстве, метрика которого дается выражением

Тогда контурный интеграл

удовлетворяет (комплексному) уравнению Лапласа, или волновому уравнению,

Этот результат связан с упомянутым выше соотношением между твисторами и спинорами группы . (Другие примеры аналогичных выражений приводились недавно Уордом и Атья; см. также работу [212], в которой такая процедура обсуждается в весьма общем виде. Были предложены и другие обобщения теории твисторов [34, 80].)