Изопараметрические лучи; уравнения Сакса
В случае изопараметрических лучей в формуле (7.1.38) следует положить
и тогда из (7.1.41) находим важное
-матричное уравнение
где
Игнорируя уравнение (7.2.5), поскольку величину
не требуется знать, если нас интересует лишь пересечение лучей с П [формула (7.1.47)], мы перепишем уравнение (7.2.4), которое несет существенную для нас информацию, содержащуюся в уравнении (7.2.2), в виде
где
Повторно дифференцируя (7.2.6) и используя равенство (7.2.8), получаем
Так как полученное равенство справедливо при произвольных значениях
и для произвольных линейных комбинаций векторов
мы приходим к уравнениям
которые в развернутом виде
известны как уравнения Сакса [297, 298, 300]. [Эти уравнения можно получить непосредственно из первых двух уравнений (4.12.32), используя формулу (4.12.15) и учитывая, что в случае параллельно переносимой диады справедливы равенства
см. формулу (7.1.22). Мы имеем
так как
см. формулу [4.5.29].)
Уравнения Сакса показывают, что при распространении пучка лучей их конвергенция определяется величиной
а дисторсия — величиной
Приведем два простых следствия из системы уравнений (7.2.12). Первое:
Это означает, что при
(например, в плоском пространстве или пространстве Эйнштейна) изотропная конгруэнция не может претерпевать сдвига (дисторсии) без всестороннего сжатия (или растяжения) или вращения (условие
фактически это и означает). Второе:
поскольку из условия
следует
что в силу формул (4.11.6) и (3.5.22) эквивалентно правой части соотношения (7.2.14).
Распространение вращения же не зависит от кривизны, так как разность первого уравнения (7.2.12) и комплексно-сопряженного ему уравнения записывается в виде [формула
(
— действительная величина).
Мы видим, что яркостный параметр
определенный в формуле (7.1.51), удовлетворяет уравнению
Следовательно, величина
есть мера вращения, постоянная вдоль лучей. Отсюда заключаем, что:
Отметим, что в дополнение к геометрическим характеристикам
и
которые постоянны вдоль лучей [формула (7.1.43)], существует также «симплектический инвариант» 2 двух лучей, соседних с
векторы девиации которых
независимо удовлетворяют уравнению (7.2.2), а именно:
Эта величина постоянна вдоль
(тождество Лагранжа) вследствие перестановочной симметрии тензора
Рассматривая лишь изопараметрические лучи, мы получаем (звездочкой обозначено эрмитово сопряжение)
[формула (7.1.49)]. Это фактически другая форма записи уравнения (7.2.16).
Существование такого инварианта имеет ряд замечательных следствий, и некоторые из них важны для теории твисторов, как будет отмечено в конце § 4. Несколько иная форма записи условия постоянства величины 2 вдоль луча
приведена в работе [238], в которой исследуются свойства постоянной вдоли
матрицы
, связывающей два соседних с
пучка изопараметр ических лучей. Одно из следствий (неочевидное) — то, что яркостное расстояние между двумя точками на луче
(с выбранным масштабом) есть симметричная функция этих точек (см. т. 1, с. 475, а также работы [27, 173]).
В матричной форме (7.2.11) уравнения Сакса позволяют легко определить поведение величин
для конгруэнции лучей в плоском пространстве-времени; то же можно сказать и об искривленном пространстве-времени, если
для рассматриваемого типа лучей. Требуется решить уравнение
Оно эквивалентно уравнению
где I — единичная матрица (2 X 2); но
откуда на основании равенства (7.2.21) находим
т. е.
где
— аффинный параметр вдоль луча
удовлетворяющий уравнению
Таким образом,
Записывая
где
и сто — значения величин
при
получаем в явном виде