Изопараметрические лучи; уравнения Сакса

В случае изопараметрических лучей в формуле (7.1.38) следует положить и тогда из (7.1.41) находим важное -матричное уравнение

где

Игнорируя уравнение (7.2.5), поскольку величину не требуется знать, если нас интересует лишь пересечение лучей с П [формула (7.1.47)], мы перепишем уравнение (7.2.4), которое несет существенную для нас информацию, содержащуюся в уравнении (7.2.2), в виде

где

Повторно дифференцируя (7.2.6) и используя равенство (7.2.8), получаем

Так как полученное равенство справедливо при произвольных значениях и для произвольных линейных комбинаций векторов мы приходим к уравнениям

которые в развернутом виде

известны как уравнения Сакса [297, 298, 300]. [Эти уравнения можно получить непосредственно из первых двух уравнений (4.12.32), используя формулу (4.12.15) и учитывая, что в случае параллельно переносимой диады справедливы равенства см. формулу (7.1.22). Мы имеем так как см. формулу [4.5.29].)

Уравнения Сакса показывают, что при распространении пучка лучей их конвергенция определяется величиной а дисторсия — величиной Приведем два простых следствия из системы уравнений (7.2.12). Первое:

Это означает, что при (например, в плоском пространстве или пространстве Эйнштейна) изотропная конгруэнция не может претерпевать сдвига (дисторсии) без всестороннего сжатия (или растяжения) или вращения (условие фактически это и означает). Второе:

поскольку из условия следует что в силу формул (4.11.6) и (3.5.22) эквивалентно правой части соотношения (7.2.14).

Распространение вращения же не зависит от кривизны, так как разность первого уравнения (7.2.12) и комплексно-сопряженного ему уравнения записывается в виде [формула

( — действительная величина).

Мы видим, что яркостный параметр определенный в формуле (7.1.51), удовлетворяет уравнению

Следовательно, величина есть мера вращения, постоянная вдоль лучей. Отсюда заключаем, что:

Отметим, что в дополнение к геометрическим характеристикам и которые постоянны вдоль лучей [формула (7.1.43)], существует также «симплектический инвариант» 2 двух лучей, соседних с векторы девиации которых независимо удовлетворяют уравнению (7.2.2), а именно:

Эта величина постоянна вдоль (тождество Лагранжа) вследствие перестановочной симметрии тензора Рассматривая лишь изопараметрические лучи, мы получаем (звездочкой обозначено эрмитово сопряжение)

[формула (7.1.49)]. Это фактически другая форма записи уравнения (7.2.16).

Существование такого инварианта имеет ряд замечательных следствий, и некоторые из них важны для теории твисторов, как будет отмечено в конце § 4. Несколько иная форма записи условия постоянства величины 2 вдоль луча приведена в работе [238], в которой исследуются свойства постоянной вдоли матрицы , связывающей два соседних с пучка изопараметр ических лучей. Одно из следствий (неочевидное) — то, что яркостное расстояние между двумя точками на луче (с выбранным масштабом) есть симметричная функция этих точек (см. т. 1, с. 475, а также работы [27, 173]).

В матричной форме (7.2.11) уравнения Сакса позволяют легко определить поведение величин для конгруэнции лучей в плоском пространстве-времени; то же можно сказать и об искривленном пространстве-времени, если для рассматриваемого типа лучей. Требуется решить уравнение

Оно эквивалентно уравнению

где I — единичная матрица (2 X 2); но

откуда на основании равенства (7.2.21) находим

т. е.

где — аффинный параметр вдоль луча удовлетворяющий уравнению Таким образом,

Записывая

где и сто — значения величин при получаем в явном виде