Интерпретация величин; изопараметричность лучей

В отличие от коэффициенты характеризуются определенными бустовыми весами, а именно при масштабном преобразовании (7.1.21) имеем

т. е. [формула (4.12.13) при и а — величины типа соответственно. Таким образом, их нельзя свести к нулю за счет масштабного преобразования и, как мы видели, они не зависят от выбора в случае геодезической конгруэнцни Исходя из определения этих величин, можно показать (см., например, [294]), что при

Следовательно, можно утверждать (и мы это покажем), что условие равенства нулю коэффициента или о связано с каким-то геометрическим свойством геодезической конгруэнции . В случае негеодезической конгруэнции § любую из величин , в можно свести к нулю за счет выбора спинора , не изменяя масштаба. В самом деле, поскольку в этом случае , например, величина не пропорциональна спинору достаточно выбрать чтобы коэффициент обратился в нуль: Аналогично можно добиться того, чтобы были равны нулю коэффициенты а и е.

Исследуем теперь взаимное расположение близких друг к другу линий конгруэнции Для этого введем понятие вектора девиации он направлен из точки Р луча в точку Р соседнего луча отвечающую тому же, что и Р, значению параметра . (Векторы такого типа образуют векторное поле вдоль

фиксированного луча Математически это можно выразить как равенство нулю производной Ли вектора в направлении , поскольку векторы переносятся параллельно вдоль векторного поля [формула (4.3.3)]:

на (При этом достаточно определить поле только на луче ). Кроме того, не обязательно считать, что поле образовано изотропными векторами, но мы примем это условие.) Можно очень просто доказать эту формулу, используя представление (7.1.3), (7.1.4) конгруэнции , в котором

Имеем очевидное равенство

Умножая обе его части на константу и сворачивая по получаем соотношение

которое эквивалентно второму равенству (7.1.29), так как в силу инвариантности операции (4.3.2) относительно выбора (симметричного) оператора связности V скобка Ли не изменяется при переходе от координатной производной к ковариантной.

Нас в первую очередь интересуют такие свойства конгруэнции которые «не слишком сильно» зависят от выбора масштаба; фактически для нас важны «масштабно-ковариантные» величины, которые при изменении масштаба просто приобретают числовой множитель, например или . В тензор описывающий перенос векторного поля вдоль луча в соответствии с формулой (7.1.29), входят величины, преобразующиеся ковариантно, и другие величины, не обладающие таким свойством. Мы увидим, что можно отобрать только масштабно-ковариантные величины (или величины, им комплексно-сопряженные), которые, поскольку они обладают такими простыми трансформационными свойствами, принадлежат к модифицированному формализму спиновых коэффициентов, если ввести вектор

с масштабными свойствами

Этот же вектор можно получить из следующим образом:

а также записать в форме, в которой он лишь кажется зависящим от :

Компоненты тензора являются масштабно-ковариантными, а величина —_нет. Величины первой группы могут быть выражены через Следовательно, скаляр будет масштабно-ковариантной частью тензора если мы перемещаемся в направлении Поскольку диадными компонентами вектора будут как раз спиновые коэффициенты

мы заключаем, что величины грубо говоря, показывают, как изменяется направление вектора при смещении вдоль соответственно. Однако вектор является «более инвариантным» носителем этой информации, нежели набор спиновых коэффициентов, поскольку он не зависит от произвола в выборе спинора И.

Роль вектора 5а в уравнении переноса (7.1.29) можно выяснить, свернув это уравнение со спинором

Более точная информация о геометрическом смысле коэффициентов содержится в уравнении (7.1.36) неявно. Чтобы извлечь ее, удобно выбрать спиноры параллельными вдоль т. е. так, чтобы выполнялось равенство эквивалентное равенству [формула (7.1.22)]. При таком выборе компоненты уравнения (7.1.36) записываются в виде

причем ; входят в разложение вектора следующим образом:

Уравнение переноса для менее интересно с геометрической точки зрения, поскольку оно не является масштабно-ковариантной частью уравнения (7.1.29). Оно получается как результат свертки уравнения (7.1.29) с Для полноты напишем здесь соответствующий результат:

[формулы (4.5.21), (4.5.29)]. Напишем также закон преобразования величин индуцированный общим допустимым преобразованием спинора а именно преобразованием

Уравнения (7.1.37) и (7.1.38) допускают матричную форму записи, которая иногда оказывается полезной:

Как мы увидим, уравнение (7.1.38) позволяет дать ясную геометрическую интерпретацию величин и а при условии, что Правда, из соотношения (7.1.37) следует, что если то величина не может быть равна нулю вдоль всего луча Но, как мы видели, коэффициенты и о не зависят от только при так что четкая интерпретация этих величин возможна лишь при этом условии. Однако это и есть наиболее интересный случай.

Рассмотрим теперь изотропную геодезическую конгруэнцию Ч? и предположим, что диада переносится параллельно вдоль каждого ее луча [4-е и 5-е соотношения (7.1.22)]

В этом случае уравнение (7.1.37) принимает вид

что эквивалентно уравнению

Будем называть два соседних луча изопараметрическими если для них выполняется условие

т. е. h = 0. В том, что это свойство не зависит от выбора параметризации (очевидно, что оно также не зависит от выбора

спинора И), можно убедиться, выполнив подстановку

оставляющую условие (7.1.45) без изменения.

Если представить себе конгруэнцию наглядно в виде облака фотонов, то два изопараметрических луча будут соответствовать траекториям двух соседних фотонов, таких, которые в данный (а следовательно, во всякий) момент времени в локальном 3-пространстве наблюдателя лежат на 2-плоскости, перпендикулярной их траекториям (т. е. движутся «голова в голову» — abreast).

Более того, всякие два локальных наблюдателя увидят фотоны на одном и том же расстоянии друг от друга, если соответствующие лучи изопараметричны (и только при этом условии) Действительно, если считать заданным лишь направление вектора , а остальные векторы тетрады па, та, та выбирать произвольно по модулю требуемой нормировки, то всегда можно ввести тетраду Минковского наблюдателя, движущегося с произвольной скоростью. Его локальное 2-пространство натянуто на векторы та, та, [формула (3.1.20), рис. 1.17]. Лучи в соответствующем 3-пространстве расположены в направлении а векторы та, та лежат в ортогональной 2-плоскости. Путем репараметризации (7.1.46) можно добиться, чтобы выполнялось условие и тогда из (7.1.39) находим, что вектор девиации лежит в той же 2-плоскости, а его (инвариантная) длина отвечает расстоянию между фотонами. Переход к новому наблюдателю отвечает выбору нового спинора а в формуле (7.1.40) мы видели, что величина при этом не изменяется в том и только в том случае, если Этим и завершается доказательство нашего утверждения.

Отметим, что инвариантность расстояния между изопараметрическими фотонами, о которой говорилось выше, тесно связана с «ненаблюдаемостью лоренцевого сокращения»: все фотографии данного события, выполненные в параллельных лучах по-разному движущимися наблюдателями, выглядят одинаково (см. работы [334, 293], а также том 1, с. 44).

Напомним, что коэффициент может служить мерой изменения вектора в направлении . Однако при исследовании свойств конгруэнции лучей данная величина оказывается не столь удобной, как и . Это объясняется главным образом тем, что она зависит от выбора И. Только в том случае, когда оба коэффициента равны нулю, такая зависимость отсутствует. Это можно проиллюстрировать трансформационными свойствами коэффициента при замене (полагая

Рис. 7.1. Два изопараметрических соседних луча. Мерой их относительного положения, изменяющегося во времени, служит вектор девиации (координата на плоскости Арганда, если смотреть в направлении, противоположном направлению распространения луча).

Как это следует из соотношения (7.1.38), в случае неизопараметрических лучей при коэффициентом (умноженным на константу — «степень неизопараметричности») определяется перенос величины

Нас будет в основном интересовать связь луча с изопараметрическими ему соседними лучами. Мы будем рассматривать деформации пересечения пучка лучей с 2-плоскостью П, натянутой на векторы та и та, которая ортогональна лучу и переносится вдоль него параллельно. Поскольку поперечные расстояния от до соседних лучей одинаковы для всех наблюдателей, сжатие, сдвиг и вращение указанного пересечения имеют прямой физический смысл.

Поскольку условие изопараметричности (7.1.38) сводится к равенству

Это уравнение описывает движение точки пересечения плоскости П с лучом близким к (которому отвечает значение (рис. 7.1). Для более детальной интерпретации величин удобнее рассматривать раздельно роль величин и . Напишем

где — действительные величины и . Полагая в (7.1.47), получаем

Рис. 7.2. Геометрическая интерпретация коэффициентов и а как характеризующих деформацию пучка лучей в -плоскости. Фотоны распространяются от читателя.

откуда следует, что есть мера сжатия однородного пучка лучей, т. е. конвергенция конгруэнции Полагая находим соотношение

которое показывает, что есть мера вращения Аналогично при имеем

так что производная пропорциональна при или в первых двух случаях получаем сжатие по направлению к центру, а в двух других случаях — растяжение. Следовательно, есть мера сдвига (дисторсии) пучка лучей, а величина дает угол между направлением максимального сжатия и направлением полотнища флага спинора (рис. 7.2).

Рассматривая изменение вдоль площади

малого треугольника с вершинами в точках на П, мы находим, используя (7.1.47), что всякий элемент площади удовлетворяет уравнению переноса

Отсюда видно, что величина может служить мерой конвергенции, а также, что деформации, связанные с и а, не изменяют площадь.

Иногда удобно пользоваться «яркостным параметром» для конгруэнции лучей, определяемым так, что Из соотношения (7.1.50) немедленно следует, что

Сравнение с (7.1.47) показывает, что в отсутствие дисторсии (и только в этом случае)

так что изменяется пропорционально длине вектора девиации, соединяющего изопараметрические лучи.

Отметим и другую формулу для справедливую при

где использовано соотношение, вытекающее из формул (2.5.54),

Аналогично в случае находим