Классификация тензора Максвелла

Полезно провести соответствующий анализ и построить соответствующую таблицу в случае электромагнитного поля. Пусть ГИН спинора электромагнитного поля (ЭГИН) пропорциональны спинорам так что

Тогда

откуда следует, что — собственный вектор спинора при соответствующем собственном значении

Аналогично — собственный вектор, которому соответствует собственное значение . (То, что сумма собственных значений равна нулю, не должно быть неожиданностью, ибо ) В предельном случае изотропного электромагнитного поля эти собственные векторы, а значит, и собственные значения совпадают и, следовательно, Необходимым и достаточным условием изотропности электромагнитного поля [формула (5.1.68) и текст после формулы (3.5.29)] является обращение в нуль инварианта

Действительный тензор электромагнитного поля связан со спинором электромагнитного поля соотношением (5.1.39):

Его собственные векторы и соответствующие им собственные значения определяются уравнением

из которого в силу соотношения (8.5.21) следует уравнение

Легко убедиться прямой подстановкой, что эти собственные векторы и соответствующие им собственные значения будут такими:

Если спиноры различны, то выберем спиновую систему отсчета так, чтобы спиноры и и были им пропорциональны.

В этом случае векторы в (8.5.24) оказываются пропорциональными векторам изотропной тетрады (3.1.21), ассоциированной с т. е.

чем вполне характеризуется взаимное расположение четырех собственных векторов тензора в общем случае.

Частный случай набора (8.5.24) имеет место, когда [в силу равенства (8.5.20)] X — либо действительная, либо мнимая величина, т. е. когда инвариант К — действительная величина. Но это совпадает с условием простоты тензора [см. текст после формулы (5.1.70)], при котором он имеет вид

Сначала предположим, что т. е. что X — мнимая величина. [Как отмечалось после формулы (5.1.70), поле в таких условиях должно быть «чисто магнитным».] В этом случае оба собственных значения из первой строки формулы (8.5.24) равны нулю. Однако соответствующие им собственные векторы не совпадают; более того, они «размываются»; теперь любой вектор, лежащий в плоскости, которая содержит и , является собственным вектором с собственным значением, равным нулю. В этом случае тензор Максвелла имеет вид

откуда, если учесть формулы (3.1.15) — (3.1.18), следуют соотношения

[которые согласуются с формулой (8.5.24) и тем самым подтверждают правильность формулы (8.5.27)]. Аналогично если т. е. X — действительная величина (и поле «чисто электрическое»), то

Отметим, что в случае чисто магнитного поля существует полная времениподобная плоскость собственных векторов, которая вполне ортогональна пространственноподобной плоскости, содержащей два остальных неодинаковых собственных вектора и к тому же являющейся плоскостью (8.5.27) тензора в случае же чисто электрического поля — все наоборот.

Набор векторов (8.5.25) неприменим лишь в случае, когда поле изотропно В то же время из

(кликните для просмотра скана)

формулы (8.5.24) следует, что для такого поля все собственные значения равны нулю, а все собственные векторы тензора одинаковы.

Теперь можно построить таблицу (8.5.31) для электромагнитного поля, аналогичную таблице (8.5.17) для поля тяготения. Присутствующие здесь непрерывные группы симметрии в точности те же самые, что и в случае гравитационного поля, однако совершенно отсутствуют дискретные симметрии (кроме типа что тривиально). Таблица (8.5.31) фактически совпадает с нижним левым углом таблицы (8.5.17). В этом нет ничего удивительного, ибо можно формально положить и отнести спинор (с точностью до знака) к той же классификационной группе, что и