Общий случай, потенциалы

Далее мы рассмотрим связь общего уравнения (6.1.62)

с уравнением для массового поля (4.12.42). В уравнение (6.4.11) входит симметричный спинор валентности которым определяется главная часть бесследового симметричного -твистора. Пусть спинор (число индексов будет симметричным решением уравнения (4.12.42). Введем новое поле

Тогда из (6.4.11) и (4.12.42) следует, что это поле удовлетворяет уравнению

Оно будет конформно-инвариантным, как следует из соотношения (6.7.31). Пусть, далее, некоторое симметричное спинорное поле валентности (где удовлетворяет уравнению -уравнение для безмассового поля является частным случаем последнего при Подставим его в определение вместо поля

Новое поле также удовлетворяет уравнению (6.4.13).

Особый интерес представляет случай Дело в том, что, как следует из результатов теории твисторов [82] и как можно доказать непосредственно (что сделано Спарлингом), если — симметричный спинор валентности удовлетворяющий уравнению

то (в плоском пространстве-времени) поле

удовлетворяет уравнению для безмассового поля (4.12.42). Следовательно, спинор удовлетворяющий уравнению (6.4.15), есть аналог потенциала для с формулой (5.7.12)]. Более того, и безмассовое поле общего вида допускает такое представление локально. Калибровочный произвол в выборе потенциала имеет вид преобразования

Он параметризуется произвольным (симметричным) спинором валентности во всех случаях, кроме случаев когда калибровочный произвол отсутствует, и когда не существует потенциал. Соотношение (6.4.16) конформноинвариантно в слабом смысле, т. е. не изменяется при любых конформных преобразованиях, которые переводят плоскую метрику в плоскую, причем потенциалу следует приписать конформный вес, равный —1.