2-валентные e-спиноры

Перейдем теперь к получению аналогов в общем -мерном случае величин стандартной лоренцевой теории 2-спиноров. Определим два элемента пространства как

что сводится к конечным суммам, поскольку существует лишь конечное число отличных от нуля величин вида (индексы поднимаются с помощью тензора обратного тензору -Отметим, что в случае, когда (положительно определенный случай ), выражение можно переписать так:

формуле следует соответствующим образом изменить знаки]. В той части последующего изложения, где используется выражение можно будет считать, что действительно выполняется равенство Поскольку сейчас мы не интересуемся условиями действительности, можно

выбирать комплексный базис , для которого это соотношение справедливо.

Отметим, что если нечетное, то слагаемые в выражении следовательно, в определении начиная с середины, просто повторяют предыдущие слагаемые, так что после сложения они либо удваиваются, либо дают нуль [см. формулы (Б.13), (Б.27)]. Имеем

и в остальных случаях. Если четное, то ни ни не обращается в нуль.

Отметим следующее важное следствие из формулы (Б.30):

т. е.

Рассмотрим теперь оператор Подставляя в выражение разложение для второго множителя получаем

где

Подставив сюда численные значения индексов можно показать, что последовательные слагаемые в разложении Р просто пропорциональны величине с коэффициентами

соответственно. Суммируя их, получаем

откуда

т. е.

Отсюда следует, что матричный ранг оператора в формуле равен его следу:

Однако величины

которые входят в с формулой отличны от нуля только в том случае, когда число индексов с равно

либо 0, либо Иначе величина будет отличным от нуля кососимметричным тензором (или формой), который инвариантен относительно соответствующей ортогональной группы, что возможно только для скаляра или -формы. Более того, анализ свойств симметрии показывает, что если четное, то величина индексами также должна равняться нулю. (Переставьте множители у циклически.) Если нечетное, то свертка последнего слагаемого в формуле должна равняться свертке первого слагаемого, если только сам тензор не равен нулю. Замечая, что мы таким образом получаем для

в тех случаях, когда [формула (Б.31)].

Таким образом, ранг тензора равен единице (или нулю), и мы можем его факторизовать:

и [с учетом формулы

Отметим, что это расщепление связано с выбором скалярного множителя, который может быть отнесен к одному из сомножителей. Из выражения с учетом указанных свойств тензора получаем

так что

Рассмотрим теперь диагональную свертку тензора записанного в виде Мы получим выражение вида с тем, однако, отличием, что последовательность знаков слагаемых будет такой:

и с учетом формулы имеем

Сумма слагаемых в скобках при четных равна либо либо а при нечетных — или нулю. Таким образом, сворачивая выражения по получаем либо , либо — Знаки в сумме располагаются периодически и мы находим

Сопоставляя мы получаем свойства симметрии, которые суммированы в таблице . В случае нечетных отличные от нуля величины сводятся к Таким образом, тензоры ко со симметричны при и симметричны при .

Если четное, то можно продолжить редукцию, используя операторы [формула Сначала заметим, что

Отсюда и из следует, что тензор пропорционален а тензор пропорционален Удобно выбрать произвольный множитель в определении тензоров так, что

Тогда определим [формула (Б.17)]

Напомним, что — проекционные операторы на редуцированные спиновые пространства [формулы (Б.16), (Б.18), (Б. 19)]. Записывая как прежде, мы можем выразить каждый из тензоров через его редуцированные части:

При всяком (четном) значении одна и только одна из четырех редуцированных частей в каждой из матриц отлична от нуля, а какая именно — это зависит от значения

тогда как

При четных значениях числа имеем

а при нечетных

Далее из таблицы (Б.45) находим

Отметим, что если то пространства как штрихованных, так и нештрихованных редуцированных спиноров допускают введение -объектов, которые можно использовать для того, чтобы поднимать и опускать редуцированные спинорные индексы (так же как в случае стандартных лоренцевых 2-спиноров). Таким образом, в этих случаях существует канонический изоморфизм между пространствами и соответствующими им дуальными пространствами Если же то -объекты устанавливают изоморфизм между и пространством дуальным пространству следовательно, также между и , стало быть, могут быть использованы для того, чтобы исключить штрихованные индексы (скажем) из всех выражений (что неявно использовалось нами в теории твисторов). Отметим также, что в случае нечетных объект устанавливает изоморфизм между и дуальным ему пространством , следовательно, также может быть использован для поднятия и опускания индексов.