Геометрия пространственноподобных 2-поверхностей

Мы полагаем, что в каждой точке ориентированной пространственноподобной 2-поверхности в пространстве-времени определена спиновая система отсчета такая, что флагштоки ортогональны к в каждой точке, причем пространственная проекция флагштока спинора указывает в положительном направлении от . Мы используем модифицированный формализм, так что выбор полотнищ флагов и И несуществен. Следовательно, не имеют значения топологические ограничения, необходимые для построения гладкого поля полотнищ флагов. Продолжив гладкое поле спиновых систем отсчета в окрестность поверхности в мы находим, что справедливо следующее предложение.

Предложение

Если изотропные векторы ортогональны пространственноподобной 2-поверхности то оба спиновых коэффициента действительны на .

Оператор проекции на (на поверхности имеет вид

имеет смысл отрицательно определенного внутреннего метрического тензора поверхности . Комплексная кривизна поверхности

содержит мнимую часть, которая является внешней величиной. Предложение

Отметим, что К можно представить в виде суммы двух частей

причем первая из них имеет простые конформные свойства, а вторая оказывается действительной. На основании теоремы Гаусса — Бонне мы заключаем, что если — замкнутая поверхность рода это будет топологическая сфера), то

и конформно-инвариантная величина

здесь есть 2-форма площади поверхности которая определяется как

где

Отметим, что если

то ограничение этой формы на имеет вид

откуда

для области

На можно ввести (локально) голоморфную координату 1 (типа которая характеризуется условием

(т. е. ). Вводя, кроме того, на -скаляр Р в соответствии с равенством

находим

и для произвольного — -скаляра

Если — замкнутая поверхность, то

где а — величина типа типа Следовательно,

где суммарный тип величин и равен а для он равен