Координаты Керра
В заключение данного параграфа мы приведем результат Керра [157], который особенно важен при изучении алгебраически специальных точных решений вакуумных уравнений Эйнштейна.
Лемма (Керра)
Если есть аналитическая БСК и выполняются уравнения 
то существуют комплексные скаляры 
, такие, что 
Доказательство. Комплексифицируем 
и перейдем к 
Нам нужно показать, что величина
(в смысле комплексных переменных) на 
пропорциональна некоему градиенту. Это возможно при условии [формула (7.1.59)] 
т. е. в силу формулы (3.4.23) [ср. с формулой (7.1.60)] при условии
где использовано уравнение (4.9.7), а также заданное условие для 
Из того что 
есть БСК, следует равенство
[формула (7.3.31)], которое после свертки с (7.3.47) дает
где слагаемое, содержащее спинор X, выпало в силу формулы (4.6.35) и заданного условия для 
Правая часть равенства (7.3.49) преобразуется к виду [формула (7.3.24)]
Тем самым доказано равенство (7.3.46), а вместе с ним и лемма.
Напомним, что величина 
была определена ранее в формуле (7.1.31) как мера изменения направления флагштока 
-она преобразуется по закону 
что позволяет нормировать на единицу: 
Отметим, что если удовлетворяются вакуумные уравнения Эйнштейна или уравнения Эйнштейна — Максвелла с космологическим членом или без него (в первом случае спинор 
должен совпадать с ГИН электромагнитного спинора 
то выполняется второе из условий для кривизны в лемме Керра [формула (5.2.6)], а также условие III обобщенной теоремы Голдберга — Сакса (7.3.35) как следствие вакуумных эйнштейн-максвелловских тождеств Бианки (5.2.7) и, таким образом, остальные два условия леммы Керра будут следовать одно из другого. Действительная и мнимая части величины со играют роль естественных координат для многообразий пространства-времени такого типа и используются при отыскании точных решений. Аналогично можно в случае расходящихся лучей 
ввести естественные спиновые системы отсчета, связанные с 
так что 
