Данные на изотропной гиперповерхности
Система спинорных полей, удовлетворяющих полевым уравнениям и уравнениям для коммутаторов производных, образует точную систему, если все симметризованные производные могут принимать любые значения в произвольной точке, а все несимметризованные производные могут быть выражены через симметризованные. Всем обычным «самосогласованным» системам полей (например, системе Эйнштейна — Максвелла — Дирака) может быть придана форма точных систем. Пусть 
— изотропная гиперповерхность, а спинор 
определен на 
так, что его флагшток направлен вдоль образующих гиперповерхности 
Если 
— поле, принадлежащее рассматриваемой системе полей, то его изотропные данные в точке 
определяются как
Определение точной системы полей эквивалентно утверждению, что вдоль светового конуса (в аналитическом пространстве-времени 
) нулевые данные на 
для всех полей системы образуют полное неприводимое (без связей) множество начальных данных.
Простейший пример точной системы — единственное свободное безмассовое поле 
в М. Пусть 
— изотропная гиперповерхность общего вида (но допустимая) в пространстве М. Тогда можно использовать обобщенную формулу Кирхгофа — Дадемара
чтобы выразить в поле в точке 
через изотропные данные 
в точках 
многообразия 
которое является пересечением светового конуса точки Р с 
При смещении точки 
флагштоки спинора 
направлены вдоль образующих гиперповерхности 
и параметр 
определяется соотношением
Оператор 
определен в формуле (5.6.33), спиновая система отсчета здесь выбирается в виде
(так что и можно написать
Как и прежде, 
есть 2-форма элемента поверхности 9 в точке 
Для доказательства формулы (5.12.6) мы сначала фиксируем 
и, изменяя 
, показываем, что правая часть не зависит от выбора сечения конуса 
а затем переходим к пределу, когда 
стягивается к 
. То, что интеграл не зависит от выбора сечения, следует из формулы (4.14.92) (точнее говоря, из формулы, ей комплексно-сопряженной, с заменой 
на 
а также из равенства нулю величины А, определяемой соотношением
Здесь
при 
, где 
— константа на М. При желании можно заменить величину 
— скаляром Г, удовлетворяющим (при 
условиям
На этом мы заканчиваем сводку наиболее важных результатов первого тома. Он был посвящен в основном установлению связи между фундаментальными понятиями 2-спинорного исчисления и геометрии, а также спинорному описанию наиболее известных физических полей. Далее мы рассмотрим с более общей точки зрения те из важных вопросов геометрии пространства-времени, при анализе которых спинорный метод оказался особенно плодотворным. Сюда относятся асимптотики и тензор энергии-импульса в общей теории относительности, подробная классификация типов кривизны пространства-времени и геометрия изотропных лучей. В качестве большой и важной части нашего изложения нам придется также дать введение, знакомящее читателя с мощными методами теории твисторов. С этого мы и начнем.
