Краткое содержание тома 1

Здесь мы кратко излагаем содержание тома 1 (Два-спинор-мое исчисление и релятивистские поля), приводя все результаты, необходимые для чтения данного тома. Нумерация формул (а также воспроизводимая в отдельных случаях нумерация разделов) та же, что и первом томе, хотя некоторые формулы приводятся не в том порядке, который соответствует их номеру.

Световой конус в пространстве Минковского

Мы используем стандартные (ограниченные, т. е. правовинтовые и изохронные) координаты Минковского

для (аффинного) пространства Минковского М (или векторного пространства Минковского V). Для пары точек Р и с координатами в определен (квадрированный) инвариантный интервал

Световой конус в точке Р (или соответственно изотропный конус в совпадает с началом координат) есть множество точек (или ), для которых Образующими конуса являются световые лучи, проходящие через точку Р. Световые лучи, проходящие (например) через начало координат О, можно параметризовать с помощью комплексного параметра который дается выражением

В обычных сферических координатах на сфере заданной уравнением

мы имеем

Сфера иногда называется антинебесной. Световые лучи, проходящие через точку О, задают взаимно-однозначное отображение сферы на сферу (заданную уравнениями т. е. небесную сферу наблюдателя, расположенного в точке О, ось времени которого совпадает с линией Обе сферы связаны между собой антиподальным отображением

Преобразование Лоренца индуцирует дробнолинейное преобразование параметра :

причем коэффициенты образуют спин-матрицу

Эта матрица задает общее конформное движение сферы при котором точки сферы мы рассматриваем просто как метки образующих светового конуса будущего в точке Р. Матрица действует на спин-вектор записанный в виде вектор-столбца с компонентами где

Изотропный вектор («флагшток»), соответствующий этому спин-вектору, имеет координаты

[см. также формулы (3.1.31), (3.2.2)]. Унитарные спин-матрицы описывают вращения, тогда как активный буст вдоль оси со скоростью описывается матрицей

где

Лоренц-инвариантное двойное отношение четырех изотропных направлений (или точек сферы с комплексными

параметрами записывается в виде

т. е.

где При перестановке изотропных направлений отношение заменяется одним из следующих выражений:

Если х — действительная величина, то четыре изотропных направления принадлежат одной гиперплоскости, т. е. соответствующие точки сферы коцикличны. Гармоническому случаю отвечают значения (а также 2 и 1/2), когда указанные четыре точки подходящим преобразованием можно перевести в вершины квадрата; случай называется эквиангармоническим, в этом случае указанные точки располагаются в вершинах правильного тетраэдра.