Симметрии в частных случаях типа {1111}

Если в некоторых частных случаях дисфеноид имеет еще и другие симметрии, то это вовсе не означает, что тензор Саьсй обязательно должен быть инвариантным по отношению к ним. Например, в эквиангармоническом случае правильный тетраэдр можно перевести в него же путем поворота на вокруг оси тройной симметрии, удерживая одну его вершину, скажем А, в фиксированном положении и осуществляя перестановку трех других. То, что тензор не может быть инвариантным по отношению к такому повороту, станет ясно, если проанализировать его «картину» на (см. § 2). Поскольку точка А соответствует простому мы имеем в ней конфигурацию, подобную первой диаграмме рис. 8.3. Эта конфигурация не обнаруживает тройной симметрии, которая требуется, чтобы тензор в результате поворота перешел в себя И действительно, такого рода повороты ведут к дуальным вращениям тензора на углы [формулы (4.8.15) и (4.8.16) ]. Аналогично в гармоническом случае квадрат допускает поворот на вокруг оси, проходящей через его центр перпендикулярно его плоскости. Однако эта ось пересекает сферу в двух точках, в которых картина тензора не может обнаруживать четырехкратной симметрии. Поэтому такой поворот тоже ведет к дуальному вращению тензора но теперь на угол , в результате чего переходит в себя со знаком минус (ибо однократное повторение такого поворота дает одну из присущих тензору симметрий рассмотренного выше типа).

Дисфеноид обладает симметриями отражения в следующих двух случаях: 1) когда он сплющивается в прямоугольник (двойное отношение х действительно) и 2) когда равны четыре его ребра: или текст между формулами (8.4.7) и (8.4.8)]. Тензор же Саьы в этих случаях будет обладать симметрией отражения, если конкретное значение параметра сопровождающего двойное отношение таково, что картина тензора обнаруживает соответствующую симметрию. Оказывается, что Саъса будет обладать симметрией отражения в случае 1, если параметр имеет действительное значение, а в случае 2, если значение параметра таково, что одно из собственных значений спинора комплексно-сопряжено другому Необходимость этих условий следует из того, что спинор при пространственном отражении переходит в в результате чего неупорядоченное множество собственных значений исходного спинора переходит в неупорядоченное множество собственных значений конечного спинора. Достаточность же гарантируется следующим соображением: если собственные значения К в результате преобразования отражения переходят в собственные значения X в определенном порядке, то спинор нельзя подвергать каким бы то ни было дуальным поворотам, ибо если приобретет фазовый множитель, то то же самое должно произойти с каждым .