§ 6. Асимптотически простое пространство-время

Займемся теперь общим случаем искривленного пространства-времени с достаточно «хорошими» асимптотическими свойствами, позволяющими так же, как в § 1 в случае пространства Минковского, «присоединить» к нему гладкую конформную границу. Требование существования такого рода конформной границы в случае асимптотически-плоского пространства оказывается весьма удобным условием: с одной стороны, оно достаточно мягкое, чтобы можно было учесть наличие массы, импульса, момента импульса, а также существование приходящего и уходящего свободно изменяющегося гравитационного излучения, но, с другой стороны, достаточно жесткое, чтобы можно было получить точные математические результаты, касающиеся убывания интенсивности излучения и переносимых им энергии и импульса.

Бесконечность пространства-времени Шварцшильда

Для начала исследуем конформную бесконечность решения Шварцшильда. Знакомая нам форма метрики Шварцшильда имеет вид

Не будем пытаться ввести гиперповерхности одновременно, как это делалось в случае пространства Минковского. Проще ввести координату запаздывающего времени

и координату опережающего времени

по отдельности. В первом случае метрика приобретает вид

а во втором —

В любом из них можно использовать конформный множитель например. Тогда в первом случае мы придем к «нефизической» метрике

а во втором к метрике

Метрики (9.6.6) и (9.6.7), очевидно, регулярны (и аналитичны) на своих соответственных граничных гиперповерхностях определители при отличны от нуля.) В случае метрики (9.6.6) физическое пространство-время отвечает условию но это многообразие можно расширить, чтобы оно включало в себя и граничную гиперповерхность определяемую условием . В случае метрики (9.6.7) физическое пространство-время тоже соответствует значениям и может быть расширено включением в него гиперповерхности которая, как и выше, определяется условием При желании мы могли бы продолжить пространство-время и за пределы границы в область отрицательных значений но здесь мы этого делать не будем. К пространству-времени будет присоединена только граница

Укажем те трудности, с которыми пришлось бы столкнуться при попытке отождествить Если распространить область определения метрики (9.6.6) на отрицательные значения а затем произвести замену то окажется, что она примет форму метрики (9.6.7) (с и вместо и), но с массой вместо т. Следовательно, продолжение метрики через границу У требует обращения знака массы. Но информацию о массе несет производная (конформной) кривизны на границе У. [См. ниже формулу (9.9.56).] Значит, попытавшись отождествить гиперповерхность с гиперповерхностью так, чтобы (ненулевая) масса с обеих сторон имела один и тот же знак, мы обнаружим, что при переходе через У производная кривизны терпит разрыв (т. е. метрика не может быть класса на ).

Итак, установив, что отождествлять с нецелесообразно, мы приходим к ситуации, весьма сходной с рассмотренной в § 1 в случае пространства М. Единственное существенное отличие связано с точками Оказывается, что при наличии массы точка а при обычных условиях и точки должны, если их присоединить к многообразию, быть сингулярными точками интересующей нас конформной геометрии. (На доказательстве этого мы здесь останавливаться не будем.) Поэтому в общем случае имеет смысл не рассматривать эти точки в качестве части конформной бесконечности (а как мы уже знаем, даже в пространстве Минковского граничная поверхность в точках и Р не гладкая). В результате мы приходим к картине, показанной на рис. 9.18: две несоединенные граничные гиперповерхности каждая из которых представляет собой «цилиндр» с топологией Из соотношений (9.6.6) и (9.6.7) явствует, что — изотропные гиперповерхности (причем индуцированная метрика при вырождена). Образующими этих изотропных гиперповерхностей являются лучи (их уравнения имеют вид

Рис. 9.18. Изотропная бесконечность пространства-времени Шварцшильда. Значение соответствует как гиперповерхности так и гиперповерхности Точки и сингулярны (в них расходится вейлева кривизна) и не рассматриваются. Рисунок может служить моделью асимптотически-плоского пространства-времени и в самом общем случае.

касательные к которым идут по нормалям к гиперповерхностям. Эти лучи можно считать множителем топологического произведения