3-форма Спарлинга

Два-спинорное выражение

[которым можно заменить В в формулах (9.10.19) и (9.10.20)] было введено Нестером [213] (Виттен первоначально пользовался дираковской 4-спинорной формулировкой). Внешний дифференциал этой величины тот же самый, что и -формы В, и определяется формулой (9.10.29). Согласно формуле (9.10.34), величина а в вакууме равна нулю и представляет собой 3-форму, которая при изменяющемся по существу эквивалентна тензору энергии Таким образом, в вакууме

а значит,

Более того, как показал Спарлинг [321, 322], условие (если оно выполняется при всех Яд) оказывается также достаточным для выполнения вакуумных уравнений, так что равенство (9.10.50) есть весьма компактная запись вакуумных уравнений Эйнштейна. По этой причине величину часто называют

3-формой Спарлинга.

Отметим, что формы фактически относятся к (дуальному) спин-векторному пучку на [Графическое изображение такого пучка см. на рис. 1.15 (т. 1, с. 71).] Значит, равенство нулю формы Спарлинга можно рассматривать как выражение содержания вакуумных уравнений Эйнштейна в приложении к спин-векторным пучкам. Спарлинг допускал присутствие кручения в связности определяющей в формуле (9.10.31). Таким образом, равенство показывает, что наряду с выполнением вакуумных уравнений равно нулю кручение.

На 38 удобны обозначения

(причем в соответствии с соглашениями, принятыми в гл. 4, § 3, для любого сечения пространства над частью пространства

(т. e. для спинорного поля можно написать, что

и (хотя сама величина не существует)

Форма записи (9.10.53) вполне приемлема [см. также формулу (4.2.55)], ибо в локальных координатах координатный дуальный базис имеет вид

так что (9.10.53) — это просто вариант соотношений (9.10.54), отвечающий методу абстрактных индексов. Мы не получим равенства в приложении к из-за абстрактного индекса Вместо этого, воспользовавшись формулами (4.9.11), (4.6.34) и (4.2.31), можно получить следующее соотношение [в которое для большей общности включено кручение Таьс, как в формуле (4.2.22)]:

а с учетом формул (9.10.54), (4.2.22) и равенства еще и соотношение

Из этих соотношений можно легко вывести результат Спарлинга. (Отметим, что в том и только том случае, когда кручение равно нулю.)

Существуют связи между формами, рассмотренными здесь, и формами и инвариантной контактной структуры теории твисторов, рассмотренными в гл. 7, § 4 и определенными на пространстве «изотропных твисторов» в Легко убедиться, что

где все формы теперь относятся к пространству (которое представляет собой пучок как над так и над в силу чего

эти формы могут быть отнесены к Таким образом, согласно формулам (9.10.56) и (9.10.48), и это действительная и мнимая части формы соответственно. Однако и форма Спарлинга неприменимы непосредственно к твисторному пространству так что уяснение смысла этих соотношений в полном объеме потребует дополнительных усилий.

Очень интересно обнаружить столь много подобных взаимосвязей между энергией-импульсом, моментом импульса, полевыми уравнениями Эйнштейна и теорией твисторов, хотя это и не дает полного удовлетворения. Истинная роль и значение теории твисторов в данном контексте пока что остаются проблематичными. Однако существенно спинорный характер подхода Виттена и операций, связанных с твисторами двумерной поверхности из § 9, убедительно свидетельствуют в пользу существования пока еще неясной, но глубокой связи между спинорными представлениями и понятиями энергии и импульса. Это весьма удивительно, если учесть, что физические характеристики такого рода раньше всегда рассматривались как векторные или тензорные (т. е. интегрально-спиновые) величины, в особенности те, что связаны с трансляционными движениями пространства времени. В общей теории относительности такие трансляционные симметрии могут отсутствовать, и тут, по-видимому, нужны спиноры, чтобы выявить более глубокие свойства этих физических величин, имеющих фундаментально важное значение.