§ 5. Двойственность

Пусть R — коммутативное кольцо и Е, F — модули над R. Тогда -билинейная форма на — это отображение

обладающее следующими свойствами: для всякого отображение

R - линейно, и для всякого отображение

В остальной части этого параграфа мы будем опускать приставку R и будем писать или вместо . Для пишем если . Аналогично, в случае, когда S — подмножество в F, пишем если х, у для всех . В этом случае мы говорим, что элемент перпендикулярен к S. Пусть состоит из всех элементов в Е, перпендикулярных к S. Это, очевидно, подмодуль в Е. Аналогичным образом определяется перпендикулярность с другой стороны. Мы считаем по определению ядром слева и ядром справа Е. Мы будем говорить, что форма невырождена слева (справа), если ее ядро слева (соответственно справа) равно 0. Пусть — ядро слева; имеем индуцированное билинейное отображение

которое, как тривиально вытекает из определений, невырождено слева. Аналогично, если ядро справа, то имеем индуцированное билинейное отображение

которое невырождено с обеих сторон. Это отображение определено, поскольку значение зависит только от смежного класса по модулю и смежного класса у по модулю

Мы будем обозначать через множество всех билинейных отображений в R. Ясно, что это множество является модулем (т. е. -модулем) с обычными сложением отображений и умножением отображений на элементы из

Форма порождает гомоморфизм

такой, что

для всех . Мы будем называть Нош дуальным модулем модуля F и обозначать его через F. Имеем изоморфизм

задаваемый отображением , обратное к которому определяется очевидным образом: если - гомоморфизм, то определяем по формуле

Мы будем называть форму неособой слева, если —изоморфизм, другими словами, если наша форма может быть использована для отождествления Е с модулем, дуальным к F.

Форма, неособая справа, определяется аналогичным образом, и мы будем говорить, что форма неособая, если она неособая слева и справа.

Предостережение: невырожденная форма не обязательно должна быть неособой.

Получим теперь изоморфизм

зависящий от. фиксированного неособого билинейного отображения .

Пусть — линейное отображение Е в себя. Тогда отображение

билинейно, и этим путем всякому мы сопоставляем линейным образом некоторую билинейную форму из

Обратно, пусть отображение билинейно. При заданном отображение для которого , линейно и лежит в дуальном модуле F. По предположению существует единственный элемент , такой, что для всех

Очевидно, что сопоставление является линейным отображением Е в себя. Таким образом, всякому билинейному отображению мы сопоставили линейное отображение

Непосредственно видно, что отображения, описанные в последних двух абзацах, являются взаимно обратными изоморфизмами между . Подчеркнем еще раз, что они зависят от нашей формы

Разумеется, мы могли бы все то же самое проделать справа и получить аналогичный изоморфизл

также зависящий от нашей фиксированной неособой формы

В качестве приложения рассмотрим линейное отображение А: . Пусть — соответствующее ему билинейное отображение. Тогда существует однозначно определенное линейное отображение

такое, что

для всех

Мы будем называть отображением, сопряженным к А относительно

Непосредственно ясно, что если А, В — линейные отображения Е в себя, то для имеем

Предположим, что Пусть отображение билинейно. Под автоморфизмом пары или просто под автоморфизмом формы мы будем понимать линейный автоморфизм А: такой, что

для всех Группа автоморфизмов формы обозначается через

Предложение 11. Пусть — неособая билинейная форма, — линейное отображение. Тогда А является автоморфизмом в том и только в том случае, если и А обратимо.

Доказательство. Из равенства

выполняющегося для всех заключаем, что если А — автоморфизм формы Обратное столь же очевидно.

Замечание. Если модуль Е свободен и конечномерен, то условие влечет обратимость А.

Пусть — билинейная форма. Мы будем говорить, что — симметрическая, если для всех . Множество симметрических билинейных форм на Е будет обозначаться символом Возьмем фиксированную симметрическую неособую билинейную форму на Е, записав ее в виде . Эндоморфизм называется симметрическим относительно если . Ясно, что множество симметрических эндоморфизмов модуля Е является модулем, который мы будем обозначать через . Имеем изоморфизм, зависящий от нашей фиксированной симметрической неособой формы

Этот изоморфизм описывается следующим образом. Если g — симметрическая билинейная форма на Е, то существует однозначно определенное линейное отображение А, такое, что

для всех Используя тот факт, что обе формы симметрические, получаем

Следовательно, Сопоставление дает гомоморфизм . Обратно, для заданного симметрического эндоморфизма А модуля Е мы можем определить симметрическую форму правилом , и сопоставление этой формы эндоморфизму А, очевидно, дает гомоморфизм , обратный к предыдущему гомоморфизму. Следовательно, изоморфны.

Напомним, что билинейная форма называется знакопеременной, если для всех и, следовательно, для всех . Множество билинейных знакопеременных форм на Е является модулем, обозначаемым символом

Пусть — фиксированная симметрическая неособая билинейная форма на Е. Эндоморфизм будет называться кососимметрическим или знакопеременным относительно если и, кроме того, для всех . Если для всякого соотношение возможно лишь при то второе условие излишне, так как влечет Ясно, что множество знакопеременных эндоморфизмов модуля Е образует модуль, обозначаемый через Имеет место изоморфизм, зависящий от нашей фиксированной симметрической неособой формы

Этот изоморфизм описывается следующим образом. Если - знакопеременная билинейная форма на Е, то соответствующее ей линейное отображение А — это такое отображение, для которого

при всех Аналогично симметрическому случаю тривиально проверяется, что соответствие дает нам искомый изоморфизм.

Примеры. Пусть k — поле, Е — конечномерное векторное пространство над k и - билинейное отображение, записываемое в виде

Каждому сопоставим линейное отображение , для которого

Тогда отображение, получаемое взятием следа, а именно

есть билинейная форма на Е. Если то эта билинейная форма симметрическая.

Далее, пусть Е — пространство непрерывных функций на отрезке [0,1], K(s,t) — непрерывная функция от двух вещественных переменных, определенная на квадрате Для положим

где двойной интеграл берется по квадрату. Получаем билинейную форму на Е. Если то эта билинейная форма симметрическая. Когда мы в следующем параграфе будем рассматривать матрицы и билинейные формы, читатель увидит аналогию между предыдущей формулой и билинейной формой, определяемой матрицей.

Наконец, пусть U — открытое подмножество вещественного банахова пространства Е (или конечномерного евклидова пространства, если читатель на этом настаивает), и пусть — дважды непрерывно дифференцируемое отображение. Для всякого производная есть непрерывное линейное отображение, а вторая производная может рассматриваться как непрерывное симметрическое билинейное отображение в