§ 5. Двойственность
Пусть R — коммутативное кольцо и Е, F — модули над R. Тогда
-билинейная форма на
— это отображение
обладающее следующими свойствами: для всякого
отображение
R - линейно, и для всякого
отображение
В остальной части этого параграфа мы будем опускать приставку R и будем писать
или
вместо
. Для
пишем
если
. Аналогично, в случае, когда S — подмножество в F, пишем
если х, у для всех
. В этом случае мы говорим, что элемент
перпендикулярен к S. Пусть состоит из всех элементов в Е, перпендикулярных к S. Это, очевидно, подмодуль в Е. Аналогичным образом определяется перпендикулярность с другой стороны. Мы считаем по определению ядром
слева
и ядром
справа Е. Мы будем говорить, что форма
невырождена слева (справа), если ее ядро слева (соответственно справа) равно 0. Пусть
— ядро
слева; имеем индуцированное билинейное отображение
которое, как тривиально вытекает из определений, невырождено слева. Аналогично, если
ядро
справа, то имеем индуцированное билинейное отображение
которое невырождено с обеих сторон. Это отображение определено, поскольку значение
зависит только от смежного класса
по модулю
и смежного класса у по модулю
Мы будем обозначать через
множество всех билинейных отображений
в R. Ясно, что это множество является модулем (т. е.
-модулем) с обычными сложением отображений и умножением отображений на элементы из
Форма
порождает гомоморфизм
такой, что
для всех
. Мы будем называть Нош
дуальным модулем модуля F и обозначать его через F. Имеем изоморфизм
задаваемый отображением
, обратное к которому определяется очевидным образом: если
- гомоморфизм, то определяем
по формуле
Мы будем называть форму
неособой слева, если
—изоморфизм, другими словами, если наша форма может быть использована для отождествления Е с модулем, дуальным к F.
Форма, неособая справа, определяется аналогичным образом, и мы будем говорить, что форма
неособая, если она неособая слева и справа.
Предостережение: невырожденная форма не обязательно должна быть неособой.
Получим теперь изоморфизм
зависящий от. фиксированного неособого билинейного отображения
.
Пусть
— линейное отображение Е в себя. Тогда отображение
билинейно, и этим путем всякому
мы сопоставляем линейным образом некоторую билинейную форму из
Обратно, пусть отображение
билинейно. При заданном
отображение
для которого
, линейно и лежит в дуальном модуле F. По предположению существует единственный элемент
, такой, что для всех
Очевидно, что сопоставление
является линейным отображением Е в себя. Таким образом, всякому билинейному отображению
мы сопоставили линейное отображение
Непосредственно видно, что отображения, описанные в последних двух абзацах, являются взаимно обратными изоморфизмами между
. Подчеркнем еще раз, что они зависят от нашей формы
Разумеется, мы могли бы все то же самое проделать справа и получить аналогичный изоморфизл
также зависящий от нашей фиксированной неособой формы
В качестве приложения рассмотрим линейное отображение А:
. Пусть
— соответствующее ему билинейное отображение. Тогда существует однозначно определенное линейное отображение
такое, что
для всех
Мы будем называть
отображением, сопряженным к А относительно
Непосредственно ясно, что если А, В — линейные отображения Е в себя, то для
имеем
Предположим, что
Пусть отображение
билинейно. Под автоморфизмом пары
или просто под автоморфизмом формы
мы будем понимать линейный автоморфизм А:
такой, что
для всех
Группа автоморфизмов формы
обозначается через
Предложение 11. Пусть
— неособая билинейная форма,
— линейное отображение. Тогда А является автоморфизмом
в том и только в том случае, если
и А обратимо.
Доказательство. Из равенства
выполняющегося для всех
заключаем, что
если А — автоморфизм формы
Обратное столь же очевидно.
Замечание. Если модуль Е свободен и конечномерен, то условие
влечет обратимость А.
Пусть
— билинейная форма. Мы будем говорить, что
— симметрическая, если
для всех
. Множество симметрических билинейных форм на Е будет обозначаться символом
Возьмем фиксированную симметрическую неособую билинейную форму
на Е, записав ее в виде
. Эндоморфизм
называется симметрическим относительно
если
. Ясно, что множество симметрических эндоморфизмов модуля Е является модулем, который мы будем обозначать через
. Имеем изоморфизм, зависящий от нашей фиксированной симметрической неособой формы
Этот изоморфизм описывается следующим образом. Если g — симметрическая билинейная форма на Е, то существует однозначно определенное линейное отображение А, такое, что
для всех
Используя тот факт, что обе формы
симметрические, получаем
Следовательно,
Сопоставление
дает гомоморфизм
. Обратно, для заданного симметрического эндоморфизма А модуля Е мы можем определить симметрическую форму правилом
, и сопоставление этой формы эндоморфизму А, очевидно, дает гомоморфизм
, обратный к предыдущему гомоморфизму. Следовательно,
изоморфны.
Напомним, что билинейная форма
называется знакопеременной, если
для всех
и, следовательно,
для всех
. Множество билинейных знакопеременных форм на Е является модулем, обозначаемым символом
Пусть
— фиксированная симметрическая неособая билинейная форма на Е. Эндоморфизм
будет называться кососимметрическим или знакопеременным относительно
если
и, кроме того,
для всех
. Если для всякого
соотношение
возможно лишь при
то второе условие
излишне, так как
влечет
Ясно, что множество знакопеременных эндоморфизмов модуля Е образует модуль, обозначаемый через
Имеет место изоморфизм, зависящий от нашей фиксированной симметрической неособой формы
Этот изоморфизм описывается следующим образом. Если
- знакопеременная билинейная форма на Е, то соответствующее ей линейное отображение А — это такое отображение, для которого
при всех
Аналогично симметрическому случаю тривиально проверяется, что соответствие
дает нам искомый изоморфизм.
Примеры. Пусть k — поле, Е — конечномерное векторное пространство над k и
- билинейное отображение, записываемое в виде
Каждому
сопоставим линейное отображение
, для которого
Тогда отображение, получаемое взятием следа, а именно
есть билинейная форма на Е. Если
то эта билинейная форма симметрическая.
Далее, пусть Е — пространство непрерывных функций на отрезке [0,1], K(s,t) — непрерывная функция от двух вещественных переменных, определенная на квадрате
Для
положим
где двойной интеграл берется по квадрату. Получаем билинейную форму на Е. Если
то эта билинейная форма симметрическая. Когда мы в следующем параграфе будем рассматривать матрицы и билинейные формы, читатель увидит аналогию между предыдущей формулой и билинейной формой, определяемой матрицей.
Наконец, пусть U — открытое подмножество вещественного банахова пространства Е (или конечномерного евклидова пространства, если читатель на этом настаивает), и пусть
— дважды непрерывно дифференцируемое отображение. Для всякого
производная
есть непрерывное линейное отображение, а вторая производная
может рассматриваться как непрерывное симметрическое билинейное отображение
в