Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
Глава XIV. Структура билинейных форм§ 1. Предварительные сведения, ортогональные суммыЦель этой главы — проникнуть несколько глубже в структурную теорию наших трех типов форм. При этом мы будем большей частью предполагать, что основное кольцо является полем и даже полем характеристики Напомним наши три определения. Пусть Е — модуль над коммутативным кольцом
Мы будем писать g(x, у) = <х, у>, если ясно, о какой форме g идет речь. Мы также иногда будем писать Если Пусть форма g симметрическая, знакопеременная или эрмитова. Тогда ясно, что левое ядро g равно ее правому ядру; оно будет называться просто ядром В любом из этих случаев мы будем говорить, что форма g невырожденная, если ее ядро равно 0. Предположим, что Е конечномерно над некоторым полем k. Тогда форма невырождена в том и только в том случае, если она неособая, т. е. индуцирует изоморфизм Е с его дуальным пространством (антидуальным в случае эрмитовых форм); За исключением нескольких замечаний об антилинейности из предыдущей главы, в этой главе мы не будем использовать результатов о двойственности. Нам потребуется только двойственность над полями, рассмотренная в гл. III. Кроме того, нам по существу не придется здесь встречаться с матрицами, за исключением замечаний о пфаффиане в § 10. Введем еще одно обозначение. При изучении форм на векторных пространствах мы будем часто разлагать векторное пространство в прямые суммы ортогональных подпространств. Если Е — векторное пространство с формой g и F, F — его подпространства, то мы будем писать
для обозначения того факта, что Е есть прямая сумма F и F и что F ортогонально (или перпендикулярно) F, т. е., другими словами, Большая часть этой главы посвящена получению определенных ортогональных разложений векторного пространства с одним из наших трех типов форм, таких, что каждое слагаемое в сумме имеет некоторый легко распознаваемый тип. В симметрическом и эрмитовом случаях особенно интересны прямые разложения, слагаемые в которых одномерны. Так, в случае симметрической или эрмитовой формы Предложение 1. Пусть Е — векторное пространство над полем k и
Тогда g невырождена на Е в том и только в том случае, если она невырождена на каждом
Доказательство. Элементы v, w из Е однозначно записываются в виде
где Тогда
и Заметим, что если
Ясно, что при этом фактически Предложение 2. Пусть Е — конечномерное пространство над полем k и g — форма на Е одного из упомянутых выше типов. Предположим, что g невырождена. Пусть F — подпространство в Е. Форма g тогда и только тогда невырождена на F, когда Доказательство. Имеем (как тривиальное следствие из гл. III, § 5)
Следовательно, Вместо того чтобы говорить, что форма невырождена на Е, мы будем иногда, допуская вольность, говорить, что само Е невырождено. Пусть Е — конечномерное пространство над полем k, g — форма одного из упомянутых выше типов и
поскольку Пусть
или, в других обозначениях, Пусть
|
1 |
Оглавление
|