УПРАЖНЕНИЯ

1. Показать, что каждая группа порядка абелева.

2. Показать, что существуют две неизоморфные группы порядка 4, а именно циклическая и произведение двух циклических групп порядка 2.

3. Пусть — наименьшее простое число, делящее порядок конечной группы G, Н — подгруппа индекса . Показать, что Н нормальна в

4. Показать, что существуют ровно две неизоморфные неабелевы группы порядка 8. (Одна из них задается образующими а, и соотношениями

Другая — группа кватернионов.)

5. Пусть G — группа и А — ее нормальная абелева подгруппа. Показать, что действует на А посредством сопряжений, и таким путем получить гомоморфизм

6. Показать, что каждая группа порядка — циклическая.

7. Определить все группы порядка 10 с точностью до изоморфизма.

8. Группа G называется периодической, если для каждого существует целое число для которого Показать, что в категории периодических абелевых групп существуют бесконечные прямые произведения.

9. Пусть — перестановка конечного множества содержащего элементов. Определим знак перестановки а, положив его равным , где

Если — орбиты а, то также равно сумме

Перестановка множества называется транспозицией, если в существуют два таких элемента у, что для всех . Пусть — транспозиция. Показать, что рассмотрев два случая, когда i, j лежат на одной и той же орбите перестановки 0 или же на разных орбитах. В первом случае имеет орбит на одну больше, а во втором случае — на одну меньше. В частности, знак транспозиции равен —1.

10. Доказать по индукции, что транспозиции порождают группу перестановок множества (называемую симметрической группой и обозначаемую часто через ). Если где , — транспозиции, то Показать, что где а, а — любые две перестановки.

11. Пусть — множество целых чисел . Показать, что для любой перестановки а

12. Пусть G — группа и Н — ее подгруппа конечного индекса. Показать, что в G существует нормальная подгруппа N, содержащаяся в Н и также имеющая конечный индекс. [Указание: если то найти гомоморфизм G в ядро которого содержится в

13. Пусть — гомоморфизм абелевых групп, В — подгруппа в А. Обозначим через А к соответственно образ и ядро отображения и аналогично определим В и Показать, что

в том, смысле, что если два из этих трех индексов конечны, то конечен и третий и выполняется написанное равенство.

14. Пусть G — конечная циклическая группа порядка , порожденная элементом а. Предположим, что G действует на абелевой группе А, и пусть — эндоморфизмы А, определяемые формулами

Определим отношение Эрбрана

при условии, что оба индекса конечны. Предположим теперь, что В — подгруппа в А, для которой с Определить естественным образом действие G на Доказать, что

в том смысле, что если два из этих множителей конечны, то конечен и третий и выполняется написанное равенство, (в) Показать, что если А конечна, то (Это упражнение — частный случай общей теории эйлеровых характеристик, рассматриваемой в гл. IV. После прочтения этой главы данное упражнение делается тривиальным. Почему?)

15. Пусть — некоторое множество индексов. Предположим, что на задано отношение частичного порядка, а именно для некоторых пар выполнено соотношение , удовлетворяющее следующим условиям. Для всех j, к в имеем: если и j к, то если , то . Мы говорим, что направленное множество, если для любых существует элемент к, такой, что . Пусть — направленное множество, А — некоторая категория и — семейство объектов из А. Предположим, что для каждой пары с условием i j задан морфизм

такой, что каковы бы ни были Прямой предел семейства - это универсальный объект в следующей категории состоит из пар где и (-семейство морфизмов такое, что для всех коммутативна следующая диаграмма:

(Универсальный означает, конечно, универсально отталкивающий.)

Показать, что в категории абелевых групп прямые пределы существуют. [Указание: профакторизовать прямую сумму по соотношениям, накладываемым отображениями

16. Обращая стрелки в предыдущем упражнении, ввести понятие обратного, или проективного, предела. Доказать, что обратные пределы существуют в категории групп. [Указание: получить обратный предел как подгруппу произведения, состоящую из всех векторов которые удовлетворяют соотношениям согласования, налагаемым отображениями

17. Пусть Н, G, G — группы и

— два гомоморфизма. Определить понятие копроизведения этих двух гомоморфизмов и показать, что оно существует.

18. Пусть А — периодическая абелева группа. Показать, что А — прямая сумма своих подгрупп по всем простым .

19. Рассматривая Z и Q как аддитивные группы, показать, что — периодическая группа, которая имеет одну и только одну подгруппу порядка для всякого целого и что каждая такая подгруппа циклическая.

20. Показать, что если А — циклическая группа порядка и d — положительное целое число, , то А содержит ровно одну подгруппу порядка d, причем эта подгруппа циклическая.

21. Показать, что всякая конечная абелева группа, не являющаяся циклической, содержит подгруппу типа () для некоторого простого .

22. Пусть G — циклическая группа порядка и Н — циклическая группа порядка . Показать, что в случае взаимно простых группа будет циклической (порядка ).