§ 8. Свободные группы

Пусть - некоторое множество, и для каждого пусть — некоторая группа Пусть — теоретико-множественное произведение множеств Тогда G — это множество всех семейств где Мы можем определить на G групповую структуру посредством покомпонентного умножения; именно, если — два элемента из G, то их произведением считаем семейство Обратным к будет Ясно, что при этом G — группа и что проекции

являются гомоморфизмами.

Поскольку G — теоретико-множественное произведение для то получаем

Предложение 5. Группа вместе с гомоморфизмами проектирования образует произведение семейства в категории групп.

Действительно, если семейство гомоморфизмов, то существует единственный гомоморфизм для которого коммутативна требуемая диаграмма. Это — гомоморфизм, определяемый равенством для и всякого .

Заметим, что каждая группа допускает инъективный гомоморфизм в произведение на его компоненту, а именно отображение такое, что компонента элемента для всякого

равна единичному элементу группы если , и равна самому если . Это вложение будет называться каноническим.

Имеется полезный критерий того, что группа есть прямое произведение своих подгрупп.

Предложение 6. Пусть G — группа и Н, К — две такие ее подгруппы, что для всех Тогда отображение при котором есть изоморфизм.

Доказательство. Это отображение, очевидно, гомоморфизм, и притом сюръективный, так как . Если принадлежит его ядру, то так что лежит сразу и в Н, и в К, а потому следовательно, также и наше отображение — изоморфизм.

Заметим, что предложение 6 обобщается по индукции на любое конечное число подгрупп попарно коммутирующих друг с другом и таких, что и

В этом случае группа G изоморфна прямому произведению

Пусть G — группа и S — подмножество в G. Напомним, что G порождается множеством S, если каждый элемент из G может быть записан в виде конечного произведения элементов из S и их обратных (причем пустое произведение всегда представляет единичный элемент G). Элементы из S называются тогда образующими. Если в группе G существует конечное множество образующих, то мы называем ее конечно порожденной.

Пусть S — некоторое множество. Мы говорим, что отображение порождает G, если его образ порождает

Пусть отображение множества S в некоторую группу, — другое такое отображение. Если (или, как мы условились говорить, ) порождает F, то, очевидно, существует самое большее один гомоморфизм группы F в G, для которого коммутативна следующая диаграмма:

Рассмотрим теперь категорию объектами которой являются отображения множества S в группы. Если два объекта в этой категории, то под морфизмом из мы понимаем гомоморфизм для которого т. е. для которого коммутативна диаграмма

Под свободной группой, определенной множеством S, мы будем понимать универсальный объект в этой категории.

Предложение 7. Для всякого множества S существует определенная им свободная группа При этом отображение инъективно и порождает группу

Доказательство (я обязан этим доказательством Ж. Титсу). Ради простоты мы сначала проведем доказательство для случая, когда S конечно. Пусть Т — бесконечное счетное множество, Г — множество всех групповых структур на — соответствующая группа для каждого Обозначим через М множество всех отображений множества S в Ту. Пусть — теоретико-множественное произведение группы Ту и множества состоящего из одного элемента; таким образом, используется как индекс, так что Т — это „та же самая" группа, что и но занумерованная посредством Введем декартово произведение

групп . Определим отображение

переводя S в множитель посредством

Мы утверждаем, что для каждого отображения множества S в произвольную группу G существует гомоморфизм такой, что коммутативна обычная диаграмма

. Для доказательства заметим сначала, что можно предполагать, что g порождает G, просто ограничившись рассмотрением подгруппы в G, порожденной образом g. В этом случае . Пусть G — произведение группы G и группы целых чисел Z, так что . Тогда для некоторого существует изоморфизм

и G естественным образом вкладывается в как прямой сомножитель. Обозначим это вложение через , так что . Мы имеем теперь следующую последовательность гомоморфизмов и отображений:

Пусть — их композиция. Тогда и мы можем рассматривать как отображение множества S в Т Положим где — проекция группы на множитель Из определений немедленно вытекает, что следующая, диаграмма коммутативна:

Обозначим через F подгруппу в порожденную образом и через -отображение рассматриваемое как отображение множества S в F. Пусть — ограничение на F. Непосредственновидно, что — единственное отображение, приводящее к нужной нам коммутативной диаграмме, следовательно, — искомая свободная группа.

Кроме того, ясно, что отображение инъективно.

Предположим теперь, что S не является конечным. Тогда легко так подобрать мощности, чтобы доказательство осталось справедливым. Именно, положим и возьмем за G произведение группы G с прямой суммой (см. § 9) достаточного числа экземпляров группы Z, так чтобы было снова . В остальном доказательство проходит, как и прежде.

Отберем для каждого множества S одну свободную группу, определяемую S, и обозначим ее через или, короче, через F(S). Она порождается образом отображения Множество S можно рассматривать как содержащееся в F(S); тогда элементы из S называются свободными образующими группы F(S). Если — некоторое отображение, то мы будем обозначать через гомоморфизм, реализующий универсальность нашей свободной группы

Пусть - отображение одного множества в другое и — отображение

Мы можем, таким образом, рассматривать F как функтор из категории множеств в категорию групп (функториальные свойства проверяются тривиально, проверка предоставляется читателю).

Если X сюръективно, то также сюръективно. Доказательство снова предоставляется читателю.

Если два множества S, S имеют одинаковую мощность, то они изоморфны в категории множеств (так как изоморфизм в этом случае — биекция!), и, следовательно, группа F(S) изоморфна группе F(S). Если S состоит из элементов, то мы называем свободной группой с образующими.

Пусть G — группа и S — то же самое множество, что и G (т. е. G рассматривается как множество без групповой структуры). Имеем тождественное отображение и, следовательно, сюръективный гомоморфизм

который будет называться каноническим. Таким образом, всякая группа есть факторгруппа свободной группы.

Группы можно строить также с помощью, как говорят, образующих и соотношений. Пусть S — множество и F(S) — свободная группа. Будем считать, что — вложение.

Пусть R — некоторое множество элементов из F (S). Каждый элемент из R может быть записан в виде конечного произведения

где каждое есть элемент из S или обратный для элемента из Пусть N — наименьшая нормальная подгруппа в F(S), содержащая R, т. е. пересечение всех нормальных подгрупп в F(S), содержащих R. Тогда будет называться группой, определенной образующими S и соотношениями

Пример. Легко показать, что группа, определенная одной образующей а и соотношением имеет порядок 2. В упражнениях в конце главы предложены менее тривиальные примеры.

Канонический гомоморфизм удовлетворяет (очевидно) свойству универсальности относительно тех гомоморфизмов группы F(S) в группы G, для которых для всех . Ввиду этого группу иногда называют группой, определенной образующими S и соотношениями (для всех ). Например, группа из предыдущего примера могла бы быть названа группой, определенной образующей а и соотношением

Предложение 8. Копроизведения в категории групп существуют.

Доказательство. Пусть - семейство групп. Рассмотрим категорию , объектами которой являются семейства гомоморфизмов групп

с очевидными морфизмами. Нам нужно найти универсальный объект в этой категории. Для каждого индекса i возьмем за то же самое множество, что и если бесконечно, и произвольное счетное множество, если конечно. Пусть S — множество, имеющее ту же мощность, что и теоретико-множественное объединение попарно не пересекающихся множеств (т. е. их копроизведение в категории множеств). Пусть Г — множество групповых структур на S и для каждого — множество всевозможных семейств гомоморфизмов

Каждая пара где есть группа использовано только индекс). Положим

и для каждого i определим гомоморфизм следующим предписанием: его компонента для каждого множителя совпадает с соответствующей компонентой гомоморфизма

Пусть теперь — некоторое семейство гомоморфизмов. Заменяя G, если необходимо, подгруппой, порожденной образами гомоморфизмов мы видим, что , поскольку всякий элемент из G есть конечное произведение элементов из этих образов Вложив G как множитель в произведение с достаточно большим набором экземпляров группы Z, мы можем предполагать, что Существует гомоморфизм такой, что

для всех i. Действительно, мы можем без потери общности предполагать, что для некоторого для некоторого В качестве возьмем проекцию на множитель

Пусть F — подгруппа в порожденная объединением образов оюбражений по всем i. Ограничение на F есть единственный гомоморфизм, удовлетворяющий соотношениям для всех i, и наш универсальный объект, таким образом, построен.

Я обязан Эйленбергу изящным доказательством следующего предложения:

Предложение 9. Пусть А и В — две группы, теоретикомножественное пересечение которых есть Существует группа , содержащая А и В в качестве подгрупп с тривиальным пересечением и обладающая следующим свойством Всякий элемент из допускает единственное представление в виде произведения

где или , причем если , то а если , то .

Доказательство. Возьмем в качестве А о В множество последовательностей

таких, что либо и последовательность пуста, либо и тогда элементы последовательности принадлежат А или В и все , причем никакие два соседних элемента последовательности не принадлежат одновременно ни А, ни В. Пусть Определим произведение как последовательность

Случай, когда или , охватывается первым случаем, при этом пустая последовательность служит единичным элементом в А•В. Ясно, что

так что в проверке нуждается только ассоциативность. Пусть

Рассмотрим сначала случай, когда т. е. последовательность b пуста. Тогда, очевидно, То же самое будет, если или Теперь рассмотрим случай Пусть где Тогда в каждом возможном случае проверяется, что Вот эти случаи:

При применяем индукцию. Записав последовательность в виде где b и b" — более короткие последовательности, получим

что и требовалось показать.

Мы имеем очевидные вложения групп А и В в А о В и, отождествляя А, В с их образами в А о В, получаем доказательство нашего предложения.

По индукции можно доказать аналогичный результат для нескольких множителей. В частности, для свободной группы получаем

Следствие 1. Пусть F(S) — свободная группа, определенная множеством S, и - различные элементы из S. Пусть — целые числа — такие целые числа,

что для Тогда

Доказательство. Пусть — циклические группы, порожденные элементами Рассмотрим группу

Пусть

— гомоморфизм, переводящий каждый элемент в себя, а все другие элементы из S — в единичный элемент группы G.

Наше утверждение теперь очевидно.

Следствие 2. Пусть S — множество из элементов бесконечные циклические группы, порожденные этими элементами. Тогда отображение

переводящее каждое в себя, является изоморфизмом.

Доказательство. Это отображение, очевидно, сюръективно и инъективно.

Следствие 3. Пусть — группы. Гомоморфизм

их копроизведения в индуцированный естественными: вложениями является изоморфизмом.

Доказательство. Опять-таки очевидно, что этот гомоморфизм инъективен и сюръективен.