Оно индуцирует линейное отображение над 
и, следовательно, 
- билинейное отображение 
Непосредственно проверяется, что это последнее отображение превращает 
в 
- модуль, который мы будем называть расширением Е над 
и обозначать через 
Мы будем также говорить, что модуль 
получен расширением основного кольца от 
до 
Пример 1. Пусть а — идеал в 
— канонический гомоморфизм. Тогда расширение Е над 
называется также редукцией Е по модулю а. Эта ситуация часто встречается над кольцом целых чисел, когда мы производим редукцию по модулю простого числа 
[т. е. по модулю простого идеала 
].
Пример 2. Пусть 
— поле и 
- его расширение. Тогда Е — векторное пространство над 
а 
-векторное пространство над 
Мы видим, что в терминах базиса это есть то самое расширение, на которое мы ссылались в предыдущей главе. Этот пример будет более подробно развит в упражнениях.
Для наглядного изображения расширения основного кольца мы будем рисовать такие же диаграммы, как и в теории полей
Следствие предложения 4 дает нам
Предложение 8. Пусть Е — свободный модуль над 
с базисом Положим 
Тогда 
будет свободным модулем над 
с базисом
Мы уже использовали раньше частный случай этого предложения, когда доказывали, что размерность свободного модуля определена, т. е. что любые два базиса имеют одинаковую мощность. Действительно, в этом случае мы производили редукцию по модулю какого-либо максимального идеала кольца 
что позволяло свести вопрос к случаю векторных пространств над полем.
Когда колец несколько, желательно указывать 
в обозначении тензорного произведения. Таким образом, следует писать
Имеет место транзитивность расширения основного кольца, а именно если 
- последовательность гомоморфизмов коммутативных колец, то имеет место изоморфизм
причем этот изоморфизм является изоморфизмом 
-модулей. Доказательство тривиально и предоставляется читателю.
Если Е обладает мультипликативной структурой, то мы можем расширять основное кольцо также и для этой структуры. Пусть 
гомоморфизм колец, такой, что всякий элемент образа 
в А коммутирует со всеми элементами в А (т. е. некоторая 
-алгебра). Пусть 
гомоморфизм коммутативных колец. Имеем 
-линейное отображение
определяемое правилом
Получаем индуцированное линейное отображение над 
и, следовательно, индуцированное 
-билинейное отображение
Тривиально проверяется, что закон композиции на 
, который мы только что определили, ассоциативен. В 
имеется единичный элемент, а именно 
Имеется гомоморфизм кольца k в 
, задаваемый соответствием 
Таким образом, тотчас видно, что 
есть 
-алгебра. Отметим, что отображение 
есть гомоморфизм кольца А в 
и что мы получаем коммутативную диаграмму кольцевых гомоморфизмов
-модуль. Мы акцентируем внимание на k, так как собираемся сейчас работать с несколькими кольцами. Пусть 
— гомоморфизм коммутативных колец, так что кольцо k является 
-алгеброй и может быть рассматриваемо также как 
-модуль. Имеем 
- линейное отображение
